Inleiding
1. Beschrijvende statistiek VS Inferentiële statistiek
In Statistiek I hebben we de deductieve of de beschrijvende statistiek behandeld. Het doel hiervan is het
herkennen van globale patronen en het ontdekken van kenmerken aan de hand van kengetallen (=
karakteristieke waarden = beschrijvende maten (gemiddelde, standaardafwijking, correlatiecoëfficiënt,
…)) en figuren (histogram, spreidingsdiagram, …).
In Statistiek II behandelen we de inductieve of inferentiële statistiek. Dit is de verklarende statistiek. Het
vergelijkt onderzoeksgegevens met wat mogelijk is door TOEVAL, gebaseerd op kansrekening. Op basis
van een beperkt aantal gegevens wordt getracht om algemene uitspraken te formuleren over de gehele
populatie.
2. De steekproef geeft informatie over de populatie
In de beschrijvende statistiek gaan we proberen een perfecte beschrijving te geven van wat we hebben.
In de inferentiële statistiek gaan we nadenken over wat een steekproef ons vertelt over een hele
populatie. Wat kunnen we op basis van de gegevens van de steekproeven gaan besluiten over de
populatie? En wat zijn de grenzen? Hoe goed zijn de mogelijke conclusies die we maken op basis van de
steekproefgegevens?
1
, 3. Kans en inferentie
Aan de hand van kansrekening kunnen we onderzoeksresultaten vergelijken met ‘toeval’.
Is een rat in staat om van mensen te zien of het jonge mensen/ oude mensen en
mannen/vrouwen zijn?
Er zijn 4 deurtjes: één met een jong meisje, één met een volwassen man, één met een
jonge jongen en één met een volwassen vrouw. Achter één van de 4 deuren zit er voedsel.
De rat heeft 20 pogingen, dus telkens 1 kans op 4 voor een correcte keuze. We
verwachten gemiddeld 5 correcte keuzes. Zijn de volgende resultaten mogelijk of
waarschijnlijk?
- 7/20 → toeval
- 15/20 → kan je niet verklaren op toeval, want de kans is zeer klein dat de rat
15x correct is, dus kan het.
- (<) 4/20 → kan het niet
Als de rat niet in staat is om de foto's te herkennen, verwachten we dat hij toch nog 5x
juist is (door toeval).
4. Verzamelingen en combinatieleer
Verzamelingen
Een verzameling A is een groepering van n elementen a1, a2, …, an.
→ Notatie: A={a1, a2, …, an}
→ Venn-diagram:
Verzameling B is een deelverzameling van A die elementen a3 en an bevat.
→ Notatie: B Ì A
- Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf: A Ì A
- De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling: Æ Ì A
Bewerkingen met verzamelingen
Unie en doorsnede
→ Unie: → Doorsnede:
We kunnen verzamelingen samennemen, dat noemen we de unie. De doorsnede is de overlapping
tussen de twee.
2
, - De unie van A of B is niet gelijk aan de som van de verzamelingen A en B omdat A en B ook
overlappen.
o De ‘of’ bij unie wijst op het feit dat het A of B of beide is.
o De unie komt overeen met plus
- Bij de doorsnede behoren alle elementen die zowel tot A als tot B behoren.
o De doorsnede komt overeen met maal.
Speciale situatie
Wanneer je twee verzamelingen hebt die niet overlappen en je maakt daarvan de unie, dan bestaat die
unie uit twee delen.
Als de doorsnede van A en B leeg is ( D = AÇB = Æ ), dan bestaat de unie van A en B ( C = AÈB ) uit 2 delen
(= disjuncte verzameling).
Verschil
Partitie
A1 È A2 È...È Am = A
of kortweg
Ai Ç Aj = Æ
voor alle i ≠ j
Een opdeling van een grote verzameling in een aantal deelverzamelingen. Door de som te nemen van
alle deelverzamelingen kan je verzameling in zijn geheel terug te bekomen. Er mogen geen
overlappingen zijn en de unie van alle verzamelingen samen moet terug de oorspronkelijke geven.
Deelverzamelingen A1, A2, A3, …. An vormen een partitie van A indien
1. Hun unie A oplevert
2. Ze 2-aan-2 uitsluitend zijn
Complement van een deelverzameling
Het complement van een deelverzameling B in A is (A \ B). Het complement is alles wat niet in de
verzameling zit.
3
, Combinatieleer
Bij combinatieleer spreken we van willekeurige volgorden waarbij het niet uitmaakt of het X-Y of Y-X is.
Dit wordt beschouwd als dezelfde volgorde.
Permutaties
Permutaties zijn het aantal volgorden van n verschillende objecten. Het zijn alle mogelijke volgorden
van elementen in een verzameling.
Het aantal permutaties van een verzameling van n elementen = n! =
n×(n-1)×(n-2)×…×1
Variaties
Variaties zijn het aantal geordende deelverzamelingen.
Het aantal geordende deelverzamelingen van r elementen uit een
verzameling van n elementen (waarbij de volgorde belangrijk is).
Combinaties
Het aantal combinaties van r elementen uit een verzameling van n
elementen
(waarbij de volgorde onbelangrijk is).
Combinaties doen zich voor bij groepjes waarin de volgorde van de elementen in die groepjes
onbelangrijk is.
Samenvattend
4
1. Beschrijvende statistiek VS Inferentiële statistiek
In Statistiek I hebben we de deductieve of de beschrijvende statistiek behandeld. Het doel hiervan is het
herkennen van globale patronen en het ontdekken van kenmerken aan de hand van kengetallen (=
karakteristieke waarden = beschrijvende maten (gemiddelde, standaardafwijking, correlatiecoëfficiënt,
…)) en figuren (histogram, spreidingsdiagram, …).
In Statistiek II behandelen we de inductieve of inferentiële statistiek. Dit is de verklarende statistiek. Het
vergelijkt onderzoeksgegevens met wat mogelijk is door TOEVAL, gebaseerd op kansrekening. Op basis
van een beperkt aantal gegevens wordt getracht om algemene uitspraken te formuleren over de gehele
populatie.
2. De steekproef geeft informatie over de populatie
In de beschrijvende statistiek gaan we proberen een perfecte beschrijving te geven van wat we hebben.
In de inferentiële statistiek gaan we nadenken over wat een steekproef ons vertelt over een hele
populatie. Wat kunnen we op basis van de gegevens van de steekproeven gaan besluiten over de
populatie? En wat zijn de grenzen? Hoe goed zijn de mogelijke conclusies die we maken op basis van de
steekproefgegevens?
1
, 3. Kans en inferentie
Aan de hand van kansrekening kunnen we onderzoeksresultaten vergelijken met ‘toeval’.
Is een rat in staat om van mensen te zien of het jonge mensen/ oude mensen en
mannen/vrouwen zijn?
Er zijn 4 deurtjes: één met een jong meisje, één met een volwassen man, één met een
jonge jongen en één met een volwassen vrouw. Achter één van de 4 deuren zit er voedsel.
De rat heeft 20 pogingen, dus telkens 1 kans op 4 voor een correcte keuze. We
verwachten gemiddeld 5 correcte keuzes. Zijn de volgende resultaten mogelijk of
waarschijnlijk?
- 7/20 → toeval
- 15/20 → kan je niet verklaren op toeval, want de kans is zeer klein dat de rat
15x correct is, dus kan het.
- (<) 4/20 → kan het niet
Als de rat niet in staat is om de foto's te herkennen, verwachten we dat hij toch nog 5x
juist is (door toeval).
4. Verzamelingen en combinatieleer
Verzamelingen
Een verzameling A is een groepering van n elementen a1, a2, …, an.
→ Notatie: A={a1, a2, …, an}
→ Venn-diagram:
Verzameling B is een deelverzameling van A die elementen a3 en an bevat.
→ Notatie: B Ì A
- Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf: A Ì A
- De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling: Æ Ì A
Bewerkingen met verzamelingen
Unie en doorsnede
→ Unie: → Doorsnede:
We kunnen verzamelingen samennemen, dat noemen we de unie. De doorsnede is de overlapping
tussen de twee.
2
, - De unie van A of B is niet gelijk aan de som van de verzamelingen A en B omdat A en B ook
overlappen.
o De ‘of’ bij unie wijst op het feit dat het A of B of beide is.
o De unie komt overeen met plus
- Bij de doorsnede behoren alle elementen die zowel tot A als tot B behoren.
o De doorsnede komt overeen met maal.
Speciale situatie
Wanneer je twee verzamelingen hebt die niet overlappen en je maakt daarvan de unie, dan bestaat die
unie uit twee delen.
Als de doorsnede van A en B leeg is ( D = AÇB = Æ ), dan bestaat de unie van A en B ( C = AÈB ) uit 2 delen
(= disjuncte verzameling).
Verschil
Partitie
A1 È A2 È...È Am = A
of kortweg
Ai Ç Aj = Æ
voor alle i ≠ j
Een opdeling van een grote verzameling in een aantal deelverzamelingen. Door de som te nemen van
alle deelverzamelingen kan je verzameling in zijn geheel terug te bekomen. Er mogen geen
overlappingen zijn en de unie van alle verzamelingen samen moet terug de oorspronkelijke geven.
Deelverzamelingen A1, A2, A3, …. An vormen een partitie van A indien
1. Hun unie A oplevert
2. Ze 2-aan-2 uitsluitend zijn
Complement van een deelverzameling
Het complement van een deelverzameling B in A is (A \ B). Het complement is alles wat niet in de
verzameling zit.
3
, Combinatieleer
Bij combinatieleer spreken we van willekeurige volgorden waarbij het niet uitmaakt of het X-Y of Y-X is.
Dit wordt beschouwd als dezelfde volgorde.
Permutaties
Permutaties zijn het aantal volgorden van n verschillende objecten. Het zijn alle mogelijke volgorden
van elementen in een verzameling.
Het aantal permutaties van een verzameling van n elementen = n! =
n×(n-1)×(n-2)×…×1
Variaties
Variaties zijn het aantal geordende deelverzamelingen.
Het aantal geordende deelverzamelingen van r elementen uit een
verzameling van n elementen (waarbij de volgorde belangrijk is).
Combinaties
Het aantal combinaties van r elementen uit een verzameling van n
elementen
(waarbij de volgorde onbelangrijk is).
Combinaties doen zich voor bij groepjes waarin de volgorde van de elementen in die groepjes
onbelangrijk is.
Samenvattend
4
