TEMA 3: Contrastes con una variable.
PRUEBA BINOMIAL: nos permite realizar un contraste sobre una proporción (porcentaje) para
variables categóricas DICOTÓMICAS.
1. Hipótesis tales como:
Contraste unilateral derecho (mayor):
H0: π(VARIABLE) ≤ π(PROPORCIÓN) // H1: π(VARIABLE) > π(PROPORCIÓN).
Contraste unilateral izquierdo (menor):
H0: π(VARIABLE) ≥ π(PROPORCIÓN) // H1: π(VARIABLE) < π(PROPORCIÓN).
Contraste bilateral (diferente):
H0: π(VARIABLE) = π(PROPORCIÓN) // H1: π(VARIABLE) ≠ π(PROPORCIÓN).
2. Supuestos:
Muestra aleatoria de n observaciones con probabilidad de éxito constante en cada
extracción.
Casos independientes con una probabilidad de recuperación desconocida y fija.
3. Estadístico de contraste (Tabla C):
[π: proporción de contraste en la población; n = nº de observaciones]
𝑃1 −𝜋
Estadístico de contraste: 𝑍 =
√𝜋(1− 𝜋)/ 𝑛
𝑛1
Proporción de éxito en las n observaciones: 𝑃1 =
𝑛
4. Distribución muestral del estadístico bajo H0:
Si es un contraste unilateral derecho, buscamos conocer cuál es la probabilidad de
obtener un valor del estadístico de contraste más extremo (por grande) al observado en
la distribución muestral. (1 – α).
Si es un contraste unilateral izquierdo, buscamos conocer cuál es la probabilidad de
obtener un valor del estadístico de contraste más extremos (por pequeño) al observado
en la distribución muestral. (se queda igual).
Si es un contraste bilateral, buscamos conocer cuál es la probabilidad de obtener un valor
del estadístico de contraste más extremo (por grande o pequeño, según si es positivo o
negativo) al observado en ambas colas. (α/2; si es positivo se hace 1 – α y si es negativo
se deja igual).
5. Probabilidad asociada al valor de Z:
Tras obtener el estadístico de contraste, tomamos una decisión comprobando si la probabilidad
asociada a observar un valor igual al observado o más extremo (bajo el supuesto de que H0 es
verdadero) es menor a la tasa de error definida, es decir, p < α (en este caso, RECHAZAMOS H0) Y
TOMAMOS H1 COMO VERDADERA).
6. Decisión / conclusión.
, PRUEBA X2 BONDAD DE AJUSTE: nos permite realizar un contraste sobre una proporción
(porcentaje) para variables categóricos NO dicotómicas. Todos los contrastes son UNILATERALES
DERECHOS: (1 – α).
1. Hipótesis: (siempre así)
H0: f(n) = [πCATEGORÍA = (proporción); πCATEGORÍA = (proporción); πCATEGORÍA = (proporción)]
H1: f(n) = [πCATEGORÍA ≠ (proporción); πCATEGORÍA ≠ (proporción); πCATEGORÍA ≠ (proporción)]
2. Supuestos:
Muestra de n sujetos seleccionados aleatoriamente y se clasifican en X categorías
exclusivas y exhaustivas.
No hay frecuencias esperadas menores a 5 casos.
3. Estadístico de contraste (Tabla D):
[n: frecuencia observada; m: frecuencia esperada; I: nº de categorías]
(𝑛𝑖 −𝑚𝑖 )2
Estadístico de contraste: 𝑋 2 = ∑𝐼𝑖=1 𝑚𝑖
Grados de libertad: 𝑔𝑙 = 𝑛º 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟í𝑎𝑠 (𝐼) − 1; 𝑔𝑙 = 𝐼 − 1
4. Distribución muestral del estadístico bajo H0:
Siempre son contrastes unilaterales derechos, ya que en pruebas cuya distribución sea X 2
únicamente pueden existir este tipo de contrastes.
Si es un contraste unilateral derecho, buscamos conocer cuál es la probabilidad de
obtener un valor del estadístico de contraste más extremo (por grande) al observado en
la distribución muestral. (1 – α).
5. Probabilidad asociada al valor X2:
Tras obtener el estadístico de contraste, tomamos una decisión comprobando si la probabilidad
asociada a observar un valor igual al observado o más extremo (bajo el supuesto de que H 0 es
verdadero) es menor a la tasa de error definida, es decir, p < α (en este caso, RECHAZAMOS H0) Y
TOMAMOS H1 COMO VERDADERA).
6. Decisión / conclusión.
PRUEBA T PARA UNA MUESTRA (CONTRASTE SOBRE UNA MEDIA): nos permite realizar un
contraste sobre una variable cuantitativa y el valor de su media.
1. Hipótesis tales como:
Contraste unilateral derecho (mayor):
H0: µ(MUESTRA) ≤ µ(POBLACIÓN) // H1: µ(MUESTRA) > µ(POBLACIÓN).
Contraste unilateral izquierdo (menor):
H0: µ(MUESTRA) ≥ µ(POBLACIÓN) // H1: µ(MUESTRA) < µ(POBLACIÓN).
PRUEBA BINOMIAL: nos permite realizar un contraste sobre una proporción (porcentaje) para
variables categóricas DICOTÓMICAS.
1. Hipótesis tales como:
Contraste unilateral derecho (mayor):
H0: π(VARIABLE) ≤ π(PROPORCIÓN) // H1: π(VARIABLE) > π(PROPORCIÓN).
Contraste unilateral izquierdo (menor):
H0: π(VARIABLE) ≥ π(PROPORCIÓN) // H1: π(VARIABLE) < π(PROPORCIÓN).
Contraste bilateral (diferente):
H0: π(VARIABLE) = π(PROPORCIÓN) // H1: π(VARIABLE) ≠ π(PROPORCIÓN).
2. Supuestos:
Muestra aleatoria de n observaciones con probabilidad de éxito constante en cada
extracción.
Casos independientes con una probabilidad de recuperación desconocida y fija.
3. Estadístico de contraste (Tabla C):
[π: proporción de contraste en la población; n = nº de observaciones]
𝑃1 −𝜋
Estadístico de contraste: 𝑍 =
√𝜋(1− 𝜋)/ 𝑛
𝑛1
Proporción de éxito en las n observaciones: 𝑃1 =
𝑛
4. Distribución muestral del estadístico bajo H0:
Si es un contraste unilateral derecho, buscamos conocer cuál es la probabilidad de
obtener un valor del estadístico de contraste más extremo (por grande) al observado en
la distribución muestral. (1 – α).
Si es un contraste unilateral izquierdo, buscamos conocer cuál es la probabilidad de
obtener un valor del estadístico de contraste más extremos (por pequeño) al observado
en la distribución muestral. (se queda igual).
Si es un contraste bilateral, buscamos conocer cuál es la probabilidad de obtener un valor
del estadístico de contraste más extremo (por grande o pequeño, según si es positivo o
negativo) al observado en ambas colas. (α/2; si es positivo se hace 1 – α y si es negativo
se deja igual).
5. Probabilidad asociada al valor de Z:
Tras obtener el estadístico de contraste, tomamos una decisión comprobando si la probabilidad
asociada a observar un valor igual al observado o más extremo (bajo el supuesto de que H0 es
verdadero) es menor a la tasa de error definida, es decir, p < α (en este caso, RECHAZAMOS H0) Y
TOMAMOS H1 COMO VERDADERA).
6. Decisión / conclusión.
, PRUEBA X2 BONDAD DE AJUSTE: nos permite realizar un contraste sobre una proporción
(porcentaje) para variables categóricos NO dicotómicas. Todos los contrastes son UNILATERALES
DERECHOS: (1 – α).
1. Hipótesis: (siempre así)
H0: f(n) = [πCATEGORÍA = (proporción); πCATEGORÍA = (proporción); πCATEGORÍA = (proporción)]
H1: f(n) = [πCATEGORÍA ≠ (proporción); πCATEGORÍA ≠ (proporción); πCATEGORÍA ≠ (proporción)]
2. Supuestos:
Muestra de n sujetos seleccionados aleatoriamente y se clasifican en X categorías
exclusivas y exhaustivas.
No hay frecuencias esperadas menores a 5 casos.
3. Estadístico de contraste (Tabla D):
[n: frecuencia observada; m: frecuencia esperada; I: nº de categorías]
(𝑛𝑖 −𝑚𝑖 )2
Estadístico de contraste: 𝑋 2 = ∑𝐼𝑖=1 𝑚𝑖
Grados de libertad: 𝑔𝑙 = 𝑛º 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟í𝑎𝑠 (𝐼) − 1; 𝑔𝑙 = 𝐼 − 1
4. Distribución muestral del estadístico bajo H0:
Siempre son contrastes unilaterales derechos, ya que en pruebas cuya distribución sea X 2
únicamente pueden existir este tipo de contrastes.
Si es un contraste unilateral derecho, buscamos conocer cuál es la probabilidad de
obtener un valor del estadístico de contraste más extremo (por grande) al observado en
la distribución muestral. (1 – α).
5. Probabilidad asociada al valor X2:
Tras obtener el estadístico de contraste, tomamos una decisión comprobando si la probabilidad
asociada a observar un valor igual al observado o más extremo (bajo el supuesto de que H 0 es
verdadero) es menor a la tasa de error definida, es decir, p < α (en este caso, RECHAZAMOS H0) Y
TOMAMOS H1 COMO VERDADERA).
6. Decisión / conclusión.
PRUEBA T PARA UNA MUESTRA (CONTRASTE SOBRE UNA MEDIA): nos permite realizar un
contraste sobre una variable cuantitativa y el valor de su media.
1. Hipótesis tales como:
Contraste unilateral derecho (mayor):
H0: µ(MUESTRA) ≤ µ(POBLACIÓN) // H1: µ(MUESTRA) > µ(POBLACIÓN).
Contraste unilateral izquierdo (menor):
H0: µ(MUESTRA) ≥ µ(POBLACIÓN) // H1: µ(MUESTRA) < µ(POBLACIÓN).
