Examen VWO
2016
tijdvak 1
woensdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-16-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt:
σ( X + Y ) = σ2 ( X ) + σ2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde
experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de
uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ ( X )
σ( X )
E( X ) = E( X ) σ( X ) =
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
n
P( X = k ) = ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n−k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
k
Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Standaardafwijking: σ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X −μ g −μ
Z= is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < )
σ σ
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x) = f ( x) + g ( x) s' ( x) = f ' ( x) + g' ( x)
productregel p ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) p' ( x) = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g' ( x)
f ( x) f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g' ( x)
quotiëntregel q( x) = q' ( x) =
g ( x) ( g ( x)) 2
k' ( x) = f ' ( g ( x)) ⋅ g' ( x) of
kettingregel k ( x) = f ( g ( x)) dk df dg
= ⋅
dx dg dx
VW-1024-a-16-1-o lees verder ►►►
, Logaritmen
regel voorwaarde
g
log a + g log b = g log ab g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
a
g
log a − g log b = g log g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
b
g
log a p = p ⋅ g log a g > 0, g ≠ 1, a > 0
p
log a
g
log a = p
g > 0, g ≠ 1, a > 0, p > 0, p ≠ 1
log g
VW-1024-a-16-1-o lees verder ►►►
, Aalscholvers en vis
In het IJsselmeergebied leven veel aalscholvers. Deze vogels voeden zich
met vis. Zij zijn daarom een concurrent voor de visserij in het
IJsselmeergebied.
In de periode 1997-2001 is uitgebreid onderzoek gedaan naar de
visconsumptie van aalscholvers. Hiervoor werden braakballen van
aalscholvers geanalyseerd.
Uit het braakballenonderzoek bleek dat een volwassen aalscholver
ongeveer 360 gram vis per dag at en een jong ongeveer 285 gram per
dag.
In juni 1999 zijn er in het IJsselmeergebied 30 012 volwassen en
6961 jonge aalscholvers geteld. We gaan ervan uit dat die aantallen voor
de gehele maand golden.
3p 1 Bereken hoeveel kg vis er in die maand door de aalscholvers gegeten is.
Rond je antwoord af op duizendtallen.
Eén keer per dag braakt een foto
aalscholver een bal uit met alle
onverteerbare resten van de vissen
die hij die dag gegeten heeft. In zo'n
braakbal zitten onder andere otolieten
(gehoorsteentjes) en kauwplaatjes
van verschillende vissoorten (zie
foto). Deze worden gesorteerd op
vissoort en de lengtes worden
gemeten.
Met behulp van formules kan men dan de lengte en het gewicht
berekenen van de vissen waarvan ze afkomstig zijn. Zo wordt vastgesteld
wat de aalscholver die dag gegeten heeft.
In de tabel staan de gebruikte formules voor twee belangrijke vissoorten
die op het menu staan van de aalscholver.
tabel
vissoort formule voor de lengte formule voor het gewicht
pos L = −11,31 + 22,14 ⋅ O log(G ) = −5,607 + 3,335 ⋅ log( L)
blankvoorn log( L) = 1,692 + 0,734 ⋅ log( K ) log(G ) = −5,833 + 3,396 ⋅ log( L)
In deze formules is O de gemeten otolietlengte in mm, K de gemeten
kauwplaatlengte in mm, L de lengte van de vis in mm en G het gewicht
van de vis in gram.
VW-1024-a-16-1-o lees verder ►►►
2016
tijdvak 1
woensdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-16-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt:
σ( X + Y ) = σ2 ( X ) + σ2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde
experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de
uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ ( X )
σ( X )
E( X ) = E( X ) σ( X ) =
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
n
P( X = k ) = ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n−k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
k
Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Standaardafwijking: σ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X −μ g −μ
Z= is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < )
σ σ
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x) = f ( x) + g ( x) s' ( x) = f ' ( x) + g' ( x)
productregel p ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) p' ( x) = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g' ( x)
f ( x) f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g' ( x)
quotiëntregel q( x) = q' ( x) =
g ( x) ( g ( x)) 2
k' ( x) = f ' ( g ( x)) ⋅ g' ( x) of
kettingregel k ( x) = f ( g ( x)) dk df dg
= ⋅
dx dg dx
VW-1024-a-16-1-o lees verder ►►►
, Logaritmen
regel voorwaarde
g
log a + g log b = g log ab g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
a
g
log a − g log b = g log g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
b
g
log a p = p ⋅ g log a g > 0, g ≠ 1, a > 0
p
log a
g
log a = p
g > 0, g ≠ 1, a > 0, p > 0, p ≠ 1
log g
VW-1024-a-16-1-o lees verder ►►►
, Aalscholvers en vis
In het IJsselmeergebied leven veel aalscholvers. Deze vogels voeden zich
met vis. Zij zijn daarom een concurrent voor de visserij in het
IJsselmeergebied.
In de periode 1997-2001 is uitgebreid onderzoek gedaan naar de
visconsumptie van aalscholvers. Hiervoor werden braakballen van
aalscholvers geanalyseerd.
Uit het braakballenonderzoek bleek dat een volwassen aalscholver
ongeveer 360 gram vis per dag at en een jong ongeveer 285 gram per
dag.
In juni 1999 zijn er in het IJsselmeergebied 30 012 volwassen en
6961 jonge aalscholvers geteld. We gaan ervan uit dat die aantallen voor
de gehele maand golden.
3p 1 Bereken hoeveel kg vis er in die maand door de aalscholvers gegeten is.
Rond je antwoord af op duizendtallen.
Eén keer per dag braakt een foto
aalscholver een bal uit met alle
onverteerbare resten van de vissen
die hij die dag gegeten heeft. In zo'n
braakbal zitten onder andere otolieten
(gehoorsteentjes) en kauwplaatjes
van verschillende vissoorten (zie
foto). Deze worden gesorteerd op
vissoort en de lengtes worden
gemeten.
Met behulp van formules kan men dan de lengte en het gewicht
berekenen van de vissen waarvan ze afkomstig zijn. Zo wordt vastgesteld
wat de aalscholver die dag gegeten heeft.
In de tabel staan de gebruikte formules voor twee belangrijke vissoorten
die op het menu staan van de aalscholver.
tabel
vissoort formule voor de lengte formule voor het gewicht
pos L = −11,31 + 22,14 ⋅ O log(G ) = −5,607 + 3,335 ⋅ log( L)
blankvoorn log( L) = 1,692 + 0,734 ⋅ log( K ) log(G ) = −5,833 + 3,396 ⋅ log( L)
In deze formules is O de gemeten otolietlengte in mm, K de gemeten
kauwplaatlengte in mm, L de lengte van de vis in mm en G het gewicht
van de vis in gram.
VW-1024-a-16-1-o lees verder ►►►
