CONTINUIDAD DE ESPACIOS METRICOS RESUMEN

CONTINVIAD

DEFINICION: Sean (E, a), (Eid') e.m,f:E- E es continua enxoeE si

sid(x,xo) cf a(f(x0), f(x)) E.
*9,0 78,0 = c




BS:fen E es continua enxosiXEc0 I8>0

x e B(x0,8) f(x) B(f(x0), c)
=
-


(auf anterior)
f(B(x0,f)) B(f(x0,e))
=> =



B(x0,8) f (B1f(x0),E) (por def.
=- =
de la
presinagen)
ROP:Son equivalentes
·
f es continuo
·

f-"(b) es abierto (deE) para todo babierto de El

·f-" (I) es cerrado (de E) para
todo F
cerrado de El


Corolario.Si meticas nocion
tenemos
equivalentes la de continuidad se mantiene.




PROP:
f:ExE', XoeE. fes continua enxo EFIXn)ncE con
In xo
=




vale
que eim f(xn) f(x0).
=




n+ D +




PROP: f:E - E. fes continua => FAcE, f(A) FIA).
=




DEFINICION:Sean (E, a), lE,a') e.m. Una funcion es uniformemente continua si

FE,0 7f,0/a(x,y) f a(f(x),f(y) =
<
ex,y E.
=




IS depende de
E)

OBS:uniformemente continua continua
=>




OBS:
fno es unif.continua e) IE,P