Wiskunde A samenvatting lineaire verbanden

Lineaire formules in a nutshell
De lijn is ongeveer de meest voorkomende wiskundige formule. Hij geeft een lineair verband
weer. Een lineair verband is een relatie die continu toe- of afneemt. Dit houdt in dat bij
dezelfde stapgrootte in de x-richting dezelfde hoeveelheid toe- of afneemt in de y-richting.
Als de grafiek een lineaire relatie heeft, is het een rechte lijn met een bijbehorende lineaire
functie. Hieronder zie je aan de linkerkant voorbeelden van lineaire verbanden en aan de
rechterkant voorbeelden van relaties die niet lineair zijn.




Figuur 1




De algemene formule voor een lijn
De algemene formule voor een lijn is:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Gegeven de punten 𝐴(𝑥! , 𝑦! ) en 𝐵(𝑥" , 𝑦" ) dan is 𝑎 de richtingscoëfficiënt van de lijn die
#$ $ &$
door 𝐴 en 𝐵 gaat en wordt als volgt berekend 𝑎 = #% = %! &%" .
! "
De y-coördinaat van het snijpunt met de y-as wordt voorgesteld door de letter b. De
coördinaten van het snijpunt met de y-as zijn derhalve (0, 𝑏).

De richtingscoëfficiënt kan ook 0 zijn, in dat geval heb je de lijn met als vergelijking 𝑦 = 𝑐
waarbij c een constante. Bijvoorbeeld 𝑦 = 5, dit is een horizontale lijn. Zie in het plaatje aan
het begin de twee rechter groene lijnen.

Als de richtingscoëfficiënt positief is, dan is sprake van een stijgende lijn (zie in figuur 1 de
lijn linksboven). Is de richtingscoëfficiënt negatief dan is sprake van een dalende lijn (zie in
figuur 1 de lijn linksonder). Hoe groter de richtingscoëfficiënt des sneller stijgt/daalt de lijn.
We beschouwen lijnen (en grafieken in het algemeen) altijd van links naar rechts.




1

, Voorbeeld
Geef de vergelijking voor de lijn 𝑙 door de punten 𝐴(1,4) en 𝐵(−2, −5). Geef tevens aan wat
het snijpunt met de y-as is.

Uitwerking
Stel 𝑙: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Δ𝑦 𝑦! − 𝑦" (4 − −5) 9
𝑎= = = = =3
Δ𝑥 𝑥! − 𝑥" (1 − −2) 3

We hebben nu 𝑙: 𝑦 = 3𝑥 + 𝑏, om 𝑏 te vinden vullen we een van de punten 𝐴 of 𝐵 in. We
kiezen 𝐴. Dit geeft:

𝑦 = 3𝑥 + 𝑏
9 ⟹ 4 = 3 ⋅ 1 + 𝑏 ⟹ 𝑏 = 1 ⟹ 𝑙: 𝑦 = 3𝑥 + 1
(1,4)

Uit deze formule is direct af te lezen dat het snijpunt met de y-as (0,1) is.

Evenwijdige lijnen
Als lijnen evenwijdig zijn dan is hun richtingscoëfficiënt gelijk. Andersom, als de
richtingscoëfficiënten ongelijk zijn dan weet je zeker dat de lijnen een snijpunt hebben.
Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn dus evenwijdig en hebben geen snijpunt (tenzij
ze alle twee hetzelfde snijpunt met de y-as hebben, dan zijn de lijnen identiek en vallen dus
samen).

Voorbeeld I
Gegeven de lijn 𝑘: 𝑦 = 2𝑥 + 2. Geef de vergelijking van de lijn 𝑚 die evenwijdig aan 𝑘 loopt
en door het punt 𝐴((2,9) gaat.

Uitwerking
Stel 𝑚: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Uit 𝑚 ∥ 𝑘 volgt 𝑚: 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏. Invullen van punt 𝐴(2,9) (want dat ligt immers op de lijn 𝑚)
volgt 9 = 2 ⋅ 2 + 𝑏 ⟹ 𝑏 = 5 ⟹ 𝑚: 𝑦 = 2𝑥 + 5.

Voorbeeld II
Geef een vergelijking van lijn 𝑙 die snijdt met lijn 𝑘: 𝑦 = 2𝑥 + 2.

Uitwerking
Stel 𝑙: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Aangezien l moet snijden met k is het enige waarvoor we moeten zorgen dat ze verschillende
richtingscoëfficiënten hebben. We zien dat 𝑟𝑐' = 2, dus kies 𝑟𝑐( = 1 (elk ander getal had
ook gekund, zolang het maar geen 2 was). Hieruit volgt 𝑙: 𝑦 = 𝑥 + 2. Overigens heb ik hier
de 𝑏 gelijk gehouden aan die van k, maar dat hoeft natuurlijk niet. Ik had ook kunnen zeggen
𝑙: 𝑦 = 𝑥 + 104546.

Uit bovenstaande twee paragrafen volgt dus dat om de formule van een lijn op te stellen heb
je nodig:
• twee punten die op de lijn liggen, of
• een punt dat op de lijn ligt en de richtingscoëfficiënt.




2