Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 1 van 17
PARAGRAAF 11.0 : RIEMANN-SOM EN OPPERVLAKTE
LES 1 RIEMANN-SOM
DEFINITIE RIEMANN-SOM
n
Een oppervlakte kun je benaderen met behulp van een Riemann-som = f ( x ) x
i 1
i
VOORBEELD 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van -3 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx=1.
c. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx= ½ .
,Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 2 van 17
OPLOSSING 1
a. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van 1 breed en neem de
gemiddelde hoogte op het interval. Er zijn dus 4 rechthoekjes !
Je kunt met een Riemann-som (rechthoekjes van 1 breed) de oppervlakte uitrekenen
4
Oppervlakte = f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x
i 1
i 1 2 3 4
1 3 3
(1) Rechthoek I van 1 tot 2 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 ) ⋅ 1 = 1 ∙ 1 = 1
2 4 4
1 3 3
(2) Rechthoek II van 0 tot 1 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ 1 = 3 ∙ 1 = 3
2 4 4
1 3 3
(3) Rechthoek III van -1 tot 0 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (− 2 ) ⋅ 1 = 3 4 ∙ 1 = 3 4
1 3 3
(4) Rechthoek IV van -2 tot -1 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼𝑉 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (−1 2 ) ⋅ 1 = 1 4 ∙ 1 = 1 4
Totale oppervlakte benadering = 1 ¾ + 3 ¾ + 3 ¾ + 1 ¾ = 11
, Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 3 van 17
b. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van ½ breed en neem
de gemiddelde hoogte op het interval.
Oppervlakte RECHTS :
3 1 1
(1) Rechthoek I van 1½ tot 2 → 𝑂𝑝𝑝𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 ) ⋅ = 0,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(2) Rechthoek II van 1 tot 1½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 4) ⋅ 2 = 2,4375 ⋅ 2 = ⋯
3 1 1
(3) Rechthoek III van ½ tot 1 → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,4375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(4) Rechthoek IV van 0 tot ½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝑉 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
Totale Oppervlakte RECHTS = 5,375
Aangezien de grafiek symmetrisch is , is Opp RECHTS = Opp LINKS :
Dus de Totale oppervlakte benadering = 2 ⋅ 5,375 = 10,75
OPMERKING
Je ziet dat de 2e benadering (uiteraard) beter is !
Hoe kleiner de rechthoekjes, hoe beter de benadering !!
HUISWERK 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van 0 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen 𝑓(𝑥) en de x-as met een Riemann-som en met 𝛥𝑥 = 1.
PARAGRAAF 11.0 : RIEMANN-SOM EN OPPERVLAKTE
LES 1 RIEMANN-SOM
DEFINITIE RIEMANN-SOM
n
Een oppervlakte kun je benaderen met behulp van een Riemann-som = f ( x ) x
i 1
i
VOORBEELD 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van -3 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx=1.
c. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx= ½ .
,Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 2 van 17
OPLOSSING 1
a. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van 1 breed en neem de
gemiddelde hoogte op het interval. Er zijn dus 4 rechthoekjes !
Je kunt met een Riemann-som (rechthoekjes van 1 breed) de oppervlakte uitrekenen
4
Oppervlakte = f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x
i 1
i 1 2 3 4
1 3 3
(1) Rechthoek I van 1 tot 2 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 ) ⋅ 1 = 1 ∙ 1 = 1
2 4 4
1 3 3
(2) Rechthoek II van 0 tot 1 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ 1 = 3 ∙ 1 = 3
2 4 4
1 3 3
(3) Rechthoek III van -1 tot 0 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (− 2 ) ⋅ 1 = 3 4 ∙ 1 = 3 4
1 3 3
(4) Rechthoek IV van -2 tot -1 → 𝑂𝑝𝑝 𝐼𝑉 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (−1 2 ) ⋅ 1 = 1 4 ∙ 1 = 1 4
Totale oppervlakte benadering = 1 ¾ + 3 ¾ + 3 ¾ + 1 ¾ = 11
, Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 3 van 17
b. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van ½ breed en neem
de gemiddelde hoogte op het interval.
Oppervlakte RECHTS :
3 1 1
(1) Rechthoek I van 1½ tot 2 → 𝑂𝑝𝑝𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 ) ⋅ = 0,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(2) Rechthoek II van 1 tot 1½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 4) ⋅ 2 = 2,4375 ⋅ 2 = ⋯
3 1 1
(3) Rechthoek III van ½ tot 1 → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,4375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(4) Rechthoek IV van 0 tot ½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝑉 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
Totale Oppervlakte RECHTS = 5,375
Aangezien de grafiek symmetrisch is , is Opp RECHTS = Opp LINKS :
Dus de Totale oppervlakte benadering = 2 ⋅ 5,375 = 10,75
OPMERKING
Je ziet dat de 2e benadering (uiteraard) beter is !
Hoe kleiner de rechthoekjes, hoe beter de benadering !!
HUISWERK 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van 0 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen 𝑓(𝑥) en de x-as met een Riemann-som en met 𝛥𝑥 = 1.
