Hoofdstuk 1: Handig tellen.
Telproblemen kun je overzichtelijk weergeven met een boomdiagram, wegendiagram, een
rooster of een systematische opsomming van de mogelijkheden.
Voorbeeld:
Situatie: Je gooit met een geldstuk en een dobbelsteen.
Boomdiagram: Wegendiagram:
Rooster: Systematische opsomming van de mogelijkheden:
k1 k2 k3 k4 k5 k6
m1 m2 m3 m4 m5 m6
1. De vermenigvuldigingsregel.
Een gecombineerde handeling die bestaat uit handeling I die op p manieren kan EN handeling II die
op q manieren kan, kun je op p x q manieren uitvoeren. Denk hierbij aan het wegendiagram
handeling I kan op 2 manieren en handeling II kan op 6 manieren: de gecombineerde handeling kan
dus op 2 x 6 = 12 manieren. (EN = X)
2. De somregel.
Een handeling waarbij je kunt kiezen uit handeling I die op p manieren kan OF handeling II die op q
manieren kan, kun je op p + q manieren uitvoeren. (OF = +)
Bij het gebruik van de vermenigvuldigingsregel moet je er op letten of herhalingen wel of niet zijn
toegestaan.
Voorbeeld: Maak je codes van 3 of 4 cijfers en kies je uit de cijfers 1 t/m 7
- Met herhaling: 7 x 7 x 7 + 7 x 7 x 7 x 7= 2744 codes
- Zonder herhaling: 7 x 6 x 5 + 7 x 6 x 5 x 4= 1050 codes.
Met herhaling: In Nederland zijn nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters. Hierin zijn de
klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. Het aantal mogelijke nummerborden= 10 x 10 x 21 x 21 x
21 x 21 = 19.488.000.
Zonder herhaling: Een bestuur van 8 personen kiest uit hun midden eerst de voorzitter, dan de
secretaris en tenslotte de penningmeester. Het aantal manieren om deze functie te verdelen=
8 x 7 x 6 = 336.
, Permutaties
Permutatie is een ander woord voor rangschikking. Bij een permutatie mogen geen herhalingen
optreden.
- Het aantal permutaties van 3 uit 8 is 8 x 7 x 6. Er zijn dus 8 x 6 x 7 rangschikkingen van drie
dingen die je uit acht dingen kiest.
- Het aantal permutaties van 4 uit 10 is 10 x 9 x 8 x 7 Er zijn dus 10 x 9 x 8 x 7 rangschikkingen
van 4 dingen die je uit tien dingen kiest.
Het aantal permutaties van 10 uit 10 is 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 oftewel 10!
Het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! (faculteit).
Op de GR bereken je faculteiten met de optie !, permutatie staat op de GR bekend als nPr.
Combinaties
Het aantal combinaties van 3 uit 7, dus het aantal manieren om 3 dingen te kiezen uit acht dingen
zonder op de volgorde te letten is: = 34
Bij het aantal afvaardigingen van vier personen uit een klas van 25 leerlingen gaat het om
combinaties. Het aantal is: = 12.650
Op de GR bereken je combinaties met behulp van nCr.
Werken met permutaties en combinaties
In een klas zitten 13 jongen en 16 meisjes.
- Uit deze klas wordt een klankbordgroep van 5 leerlingen
gekozen. Het aantal groepen met
minstens vier meisjes is: 4 meisjes en 1 jongen OF 5 meisjes.
- Uit deze klas wordt een comité, bestaande uit een voorzitter, een secretaris en een
penningmeester gekozen. Het aantal comités dat bestaat uit leerlingen van uitsluitend hetzelfde
geslacht is: 13 x 12 x 11 + 16 x 15 x 14 = 5076. 3 jongens OF 3 meisjes.
Op hoeveel manieren kun je 3
dingen kiezen uit 7 dingen?
Volgorde van belang?
Ja
Nee
Herhaling toegestaan?
Aantal = 7 boven 3
Nee Ja
aantal= aantal=
7x6x5 7 x 7 x7
Rijtjes met A’s en B’s
Het aantal rijtjes bestaande uit vier A’s en vijf B’s is
Het totale aantal rijtjes van negen hokjes met in elk hokje een A of een B is 29
Er zijn namelijk 9 hokjes met elk 2 mogelijkheden; een A of een B.
Telproblemen kun je overzichtelijk weergeven met een boomdiagram, wegendiagram, een
rooster of een systematische opsomming van de mogelijkheden.
Voorbeeld:
Situatie: Je gooit met een geldstuk en een dobbelsteen.
Boomdiagram: Wegendiagram:
Rooster: Systematische opsomming van de mogelijkheden:
k1 k2 k3 k4 k5 k6
m1 m2 m3 m4 m5 m6
1. De vermenigvuldigingsregel.
Een gecombineerde handeling die bestaat uit handeling I die op p manieren kan EN handeling II die
op q manieren kan, kun je op p x q manieren uitvoeren. Denk hierbij aan het wegendiagram
handeling I kan op 2 manieren en handeling II kan op 6 manieren: de gecombineerde handeling kan
dus op 2 x 6 = 12 manieren. (EN = X)
2. De somregel.
Een handeling waarbij je kunt kiezen uit handeling I die op p manieren kan OF handeling II die op q
manieren kan, kun je op p + q manieren uitvoeren. (OF = +)
Bij het gebruik van de vermenigvuldigingsregel moet je er op letten of herhalingen wel of niet zijn
toegestaan.
Voorbeeld: Maak je codes van 3 of 4 cijfers en kies je uit de cijfers 1 t/m 7
- Met herhaling: 7 x 7 x 7 + 7 x 7 x 7 x 7= 2744 codes
- Zonder herhaling: 7 x 6 x 5 + 7 x 6 x 5 x 4= 1050 codes.
Met herhaling: In Nederland zijn nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters. Hierin zijn de
klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. Het aantal mogelijke nummerborden= 10 x 10 x 21 x 21 x
21 x 21 = 19.488.000.
Zonder herhaling: Een bestuur van 8 personen kiest uit hun midden eerst de voorzitter, dan de
secretaris en tenslotte de penningmeester. Het aantal manieren om deze functie te verdelen=
8 x 7 x 6 = 336.
, Permutaties
Permutatie is een ander woord voor rangschikking. Bij een permutatie mogen geen herhalingen
optreden.
- Het aantal permutaties van 3 uit 8 is 8 x 7 x 6. Er zijn dus 8 x 6 x 7 rangschikkingen van drie
dingen die je uit acht dingen kiest.
- Het aantal permutaties van 4 uit 10 is 10 x 9 x 8 x 7 Er zijn dus 10 x 9 x 8 x 7 rangschikkingen
van 4 dingen die je uit tien dingen kiest.
Het aantal permutaties van 10 uit 10 is 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 oftewel 10!
Het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! (faculteit).
Op de GR bereken je faculteiten met de optie !, permutatie staat op de GR bekend als nPr.
Combinaties
Het aantal combinaties van 3 uit 7, dus het aantal manieren om 3 dingen te kiezen uit acht dingen
zonder op de volgorde te letten is: = 34
Bij het aantal afvaardigingen van vier personen uit een klas van 25 leerlingen gaat het om
combinaties. Het aantal is: = 12.650
Op de GR bereken je combinaties met behulp van nCr.
Werken met permutaties en combinaties
In een klas zitten 13 jongen en 16 meisjes.
- Uit deze klas wordt een klankbordgroep van 5 leerlingen
gekozen. Het aantal groepen met
minstens vier meisjes is: 4 meisjes en 1 jongen OF 5 meisjes.
- Uit deze klas wordt een comité, bestaande uit een voorzitter, een secretaris en een
penningmeester gekozen. Het aantal comités dat bestaat uit leerlingen van uitsluitend hetzelfde
geslacht is: 13 x 12 x 11 + 16 x 15 x 14 = 5076. 3 jongens OF 3 meisjes.
Op hoeveel manieren kun je 3
dingen kiezen uit 7 dingen?
Volgorde van belang?
Ja
Nee
Herhaling toegestaan?
Aantal = 7 boven 3
Nee Ja
aantal= aantal=
7x6x5 7 x 7 x7
Rijtjes met A’s en B’s
Het aantal rijtjes bestaande uit vier A’s en vijf B’s is
Het totale aantal rijtjes van negen hokjes met in elk hokje een A of een B is 29
Er zijn namelijk 9 hokjes met elk 2 mogelijkheden; een A of een B.
