Hoofdstuk 24: Capaciteit, Diëlektrica, Opslag van Elektrische
Energie
Condensator = Een apparaat dat wordt gebruikt om lading (en elektrische
energie) op te slaan en bestaat uit 2 elkaar niet-rakende geleiders. De 2 geleiders
bezitten over het algemeen even grote, maar tegengestelde ladingen met een
grootte 𝑄.
Capaciteit 𝑪 = De verhouding v/d lading 𝑄 en het potentiaalverschil 𝑉 tussen de
𝑄
geleiders. → 𝐶 = 𝑉 ⇔ 𝑄 = 𝐶𝑉.
Opbouw v/d formule voor de capaciteit v/e condensator met evenwijdige platen:
- Veronderstel een condensator met 2 evenwijdige platen.
Elke plaat heeft een oppervlakte 𝐴 en de 2 platen
bevinden zich op een afstand 𝑑 van elkaar. We gaan ervan
uit dat 𝑑 klein is in vergelijking met de afmetingen v/d
platen, zodat het elektrisch veld 𝐸⃗ ertussen homogeen is
en de vervorming ervan aan de randen buiten
beschouwing kunnen laten. Het elektrisch veld heeft dan
𝜎
een grootte 𝐸 = 𝜀 (hoofdstuk 21) en een richting loodrecht
0
𝑄
op de platen. Aangezien 𝜎 = 𝐴 , is het veld gelijk aan:
𝑄
𝐸= .
𝜀0 𝐴
- De relatie tussen het elektrisch veld een de elektrische potentiaal is 𝑉 =
𝑏
𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 (hoofdstuk 23). We kunnen de lijnintegraal
𝑎
bepalen langs een baan antiparallel met de veldlijnen (d.w.z. in
tegenovergestelde richting v/d veldlijnen), dus van plaat a naar plaat b:
𝑏 𝑏
𝑄 𝑏 𝑄𝑑
𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸 𝑑𝑙 cos 180° = + ∫ 𝐸 𝑑𝑙 = ∫ 𝑑𝑙 = .
𝑎 𝑎 𝜀0 𝐴 𝑎 𝜀0 𝐴
- Met behulp van deze relatie tussen 𝑄 en 𝑉 kunnen we de capaciteit
bepalen in functie v/d geometrie v/d platen:
𝑄 𝐴
𝐶 = = 𝜀0 .
𝑉 𝑑
Voorbeeld 24.2:
Een cilindrische condensator bestaat uit een cilinder (of draad)
met een straal 𝑅𝑏 die omgeven wordt door een coaxiale
cilindrische schil met een inwendige straal 𝑅𝑎 . Beide cilinders
hebben een lengte 𝑙, waarvan we onderstellen dat die veel
groter is dan de afstand tussen de cilinders, 𝑅𝑎 − 𝑅𝑏 , zodat we
de uiteinde-effecten buiten beschouwing kunnen laten. De
condensator wordt geladen (door deze aan te sluiten op een
batterij), zodat een v/d cilinders een lading +𝑄 heeft (bv. de
, binnenste) en de andere een lading −𝑄. Leid een formule af voor de capaciteit.
→ Om het potentiaalverschil 𝑉 te bepalen in termen van 𝑄 gebruiken we dat 𝐸 =
1 𝑄
(voorbeeld 21.11 of 22.6) in de formule voor het potentiaalverschil i.f.v. het
2𝜋𝜀 𝑙𝑅
0
𝑏
elektrisch veld (𝑉 = 𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫𝑎 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 ) en schrijven daarvoor de
lijnintegraal v/d buitenste cilinder naar de buitenste cilinder (dus 𝑉 > 0) langs
een radiale lijn:
𝑏 𝑅𝑏
𝑄 𝑑𝑅 𝑄 𝑅𝑎
⃗
𝑉 = 𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − ∫ =− ln .
𝑎 2𝜋𝜀0 𝑙 𝑅𝑎 𝑅 2𝜋𝜀0 𝑙 𝑅𝑏
In een cilindrische condensator is de capaciteit dus gelijk aan:
𝑄 2𝜋𝜀0 𝑙
𝐶= = .
𝑉 𝑅
ln 𝑅𝑎
𝑏
Een schakeling met 3 parallel geschakelde condensatoren:
- Wanneer een batterij met spanning 𝑉 wordt
aangesloten op de punten a en b, dan is dit voltage 𝑉𝑎𝑏
over alle condensatoren aanwezig. (D.w.z. dat de
linkerplaten dezelfde potentiaal 𝑉𝑎 en de rechterplaten
dezelfde potentiaal 𝑉𝑏 hebben.)
- Elke condensatorplaat krijgt een lading volgens
𝑄1 = 𝐶1 𝑉, 𝑄2 = 𝐶2 𝑉 en 𝑄3 = 𝐶3 𝑉.
De totale lading 𝑄 die de batterij moet leveren is dus gelijk aan:
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 𝐶1 𝑉 + 𝐶2 𝑉 + 𝐶3 𝑉.
- Wanneer we 1 gelijkwaardige condensator proberen te vinden die dezelfde
lading 𝑄 bij dezelfde spanning 𝑉 = 𝑉𝑎𝑏 bevat, dan zal deze condensator een
capaciteit 𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 hebben van:
𝑄 = 𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 𝑉 = 𝐶1 𝑉 + 𝐶2 𝑉 + 𝐶3 𝑉 = (𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 )𝑉, ofwel:
𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 .
- Het resulterende effect v/h parallel schakelen van condensatoren is dus
een toename v/d capaciteit.
Een schakeling met 3 in serie geschakelde condensatoren:
- Een lading +𝑄 stroomt v/d batterij naar een plaat
van 𝐶1 en een lading −𝑄 naar een plaat van 𝐶3 . De
gebieden A en B tussen de condensatoren waren in
eerste instantie neutraal, dus de netto lading moet
nog steeds nul zijn. De lading +𝑄 op de linkerplaat
van 𝐶1 trekt een lading −𝑄 aan op de tegenoverliggende plaat. Omdat
gebied A een netto lading nul moet hebben, is er een lading +𝑄 aanwezig
op de linker plaat van 𝐶2 . Analoog voor de andere condensatoren bekomen
we dat elke condensator dezelfde waarde 𝑄 heeft.
Energie
Condensator = Een apparaat dat wordt gebruikt om lading (en elektrische
energie) op te slaan en bestaat uit 2 elkaar niet-rakende geleiders. De 2 geleiders
bezitten over het algemeen even grote, maar tegengestelde ladingen met een
grootte 𝑄.
Capaciteit 𝑪 = De verhouding v/d lading 𝑄 en het potentiaalverschil 𝑉 tussen de
𝑄
geleiders. → 𝐶 = 𝑉 ⇔ 𝑄 = 𝐶𝑉.
Opbouw v/d formule voor de capaciteit v/e condensator met evenwijdige platen:
- Veronderstel een condensator met 2 evenwijdige platen.
Elke plaat heeft een oppervlakte 𝐴 en de 2 platen
bevinden zich op een afstand 𝑑 van elkaar. We gaan ervan
uit dat 𝑑 klein is in vergelijking met de afmetingen v/d
platen, zodat het elektrisch veld 𝐸⃗ ertussen homogeen is
en de vervorming ervan aan de randen buiten
beschouwing kunnen laten. Het elektrisch veld heeft dan
𝜎
een grootte 𝐸 = 𝜀 (hoofdstuk 21) en een richting loodrecht
0
𝑄
op de platen. Aangezien 𝜎 = 𝐴 , is het veld gelijk aan:
𝑄
𝐸= .
𝜀0 𝐴
- De relatie tussen het elektrisch veld een de elektrische potentiaal is 𝑉 =
𝑏
𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 (hoofdstuk 23). We kunnen de lijnintegraal
𝑎
bepalen langs een baan antiparallel met de veldlijnen (d.w.z. in
tegenovergestelde richting v/d veldlijnen), dus van plaat a naar plaat b:
𝑏 𝑏
𝑄 𝑏 𝑄𝑑
𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸 𝑑𝑙 cos 180° = + ∫ 𝐸 𝑑𝑙 = ∫ 𝑑𝑙 = .
𝑎 𝑎 𝜀0 𝐴 𝑎 𝜀0 𝐴
- Met behulp van deze relatie tussen 𝑄 en 𝑉 kunnen we de capaciteit
bepalen in functie v/d geometrie v/d platen:
𝑄 𝐴
𝐶 = = 𝜀0 .
𝑉 𝑑
Voorbeeld 24.2:
Een cilindrische condensator bestaat uit een cilinder (of draad)
met een straal 𝑅𝑏 die omgeven wordt door een coaxiale
cilindrische schil met een inwendige straal 𝑅𝑎 . Beide cilinders
hebben een lengte 𝑙, waarvan we onderstellen dat die veel
groter is dan de afstand tussen de cilinders, 𝑅𝑎 − 𝑅𝑏 , zodat we
de uiteinde-effecten buiten beschouwing kunnen laten. De
condensator wordt geladen (door deze aan te sluiten op een
batterij), zodat een v/d cilinders een lading +𝑄 heeft (bv. de
, binnenste) en de andere een lading −𝑄. Leid een formule af voor de capaciteit.
→ Om het potentiaalverschil 𝑉 te bepalen in termen van 𝑄 gebruiken we dat 𝐸 =
1 𝑄
(voorbeeld 21.11 of 22.6) in de formule voor het potentiaalverschil i.f.v. het
2𝜋𝜀 𝑙𝑅
0
𝑏
elektrisch veld (𝑉 = 𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫𝑎 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 ) en schrijven daarvoor de
lijnintegraal v/d buitenste cilinder naar de buitenste cilinder (dus 𝑉 > 0) langs
een radiale lijn:
𝑏 𝑅𝑏
𝑄 𝑑𝑅 𝑄 𝑅𝑎
⃗
𝑉 = 𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − ∫ =− ln .
𝑎 2𝜋𝜀0 𝑙 𝑅𝑎 𝑅 2𝜋𝜀0 𝑙 𝑅𝑏
In een cilindrische condensator is de capaciteit dus gelijk aan:
𝑄 2𝜋𝜀0 𝑙
𝐶= = .
𝑉 𝑅
ln 𝑅𝑎
𝑏
Een schakeling met 3 parallel geschakelde condensatoren:
- Wanneer een batterij met spanning 𝑉 wordt
aangesloten op de punten a en b, dan is dit voltage 𝑉𝑎𝑏
over alle condensatoren aanwezig. (D.w.z. dat de
linkerplaten dezelfde potentiaal 𝑉𝑎 en de rechterplaten
dezelfde potentiaal 𝑉𝑏 hebben.)
- Elke condensatorplaat krijgt een lading volgens
𝑄1 = 𝐶1 𝑉, 𝑄2 = 𝐶2 𝑉 en 𝑄3 = 𝐶3 𝑉.
De totale lading 𝑄 die de batterij moet leveren is dus gelijk aan:
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 𝐶1 𝑉 + 𝐶2 𝑉 + 𝐶3 𝑉.
- Wanneer we 1 gelijkwaardige condensator proberen te vinden die dezelfde
lading 𝑄 bij dezelfde spanning 𝑉 = 𝑉𝑎𝑏 bevat, dan zal deze condensator een
capaciteit 𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 hebben van:
𝑄 = 𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 𝑉 = 𝐶1 𝑉 + 𝐶2 𝑉 + 𝐶3 𝑉 = (𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 )𝑉, ofwel:
𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 .
- Het resulterende effect v/h parallel schakelen van condensatoren is dus
een toename v/d capaciteit.
Een schakeling met 3 in serie geschakelde condensatoren:
- Een lading +𝑄 stroomt v/d batterij naar een plaat
van 𝐶1 en een lading −𝑄 naar een plaat van 𝐶3 . De
gebieden A en B tussen de condensatoren waren in
eerste instantie neutraal, dus de netto lading moet
nog steeds nul zijn. De lading +𝑄 op de linkerplaat
van 𝐶1 trekt een lading −𝑄 aan op de tegenoverliggende plaat. Omdat
gebied A een netto lading nul moet hebben, is er een lading +𝑄 aanwezig
op de linker plaat van 𝐶2 . Analoog voor de andere condensatoren bekomen
we dat elke condensator dezelfde waarde 𝑄 heeft.
