Hoofdstuk 23: Elektrische Potentiaal
De verandering v/d potentiële energie tussen 2 punten a en b is gelijk aan het
tegengestelde v/d arbeid verricht door de conservatieve kracht om een voorwerp
van a naar b te verplaatsen (hoofdstuk 8). → ∆𝑈 = 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −𝑊.
Als een kleine, positieve puntlading 𝑞 (zodanig klein dat deze geen effect heeft op
𝐸⃗ ) ter plaatse v/e punt a in een homogeen elektrisch veld 𝐸⃗ wordt losgelaten, zal
de elektrische kracht arbeid op de lading verrichten en deze versnellen in de
richting v/d negatieve plaat. De arbeid 𝑊 die door het elektrisch veld 𝐸 wordt
verricht om de lading over aan afstand 𝑑 te verplaatsen is 𝑊 = 𝐹𝑑 = 𝑞𝐸𝑑.
Voor het geval v/e homogeen elektrisch veld 𝐸⃗ is de verandering v/d elektrische
potentiële energie gelijk aan het tegengestelde v/d door de elektrische kracht
verrichte arbeid. → 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −𝑊 = −𝑞𝐸𝑑.
Elektrische potentiaal = De elektrische, potentiële energie per eenheid van
𝑈
lading. → 𝑉𝑎 = 𝑞𝑎.
Elektrische potentiaalverschil (soms voltage genoemd) tussen 2 willekeurige
punten in de ruimte = Het verschil in potentiële energie v/e testlading 𝑞 geplaatst
𝑈 −𝑈 𝑊
in deze 2 punten, gedeeld door de lading 𝑞. → 𝑉𝑏𝑎 = ∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑏 𝑞 𝑎 = − 𝑞𝑏𝑎 .
Eenheid = 1𝑉 = 1𝐽/𝐶 (conversiefactor).
Als je het hebt over de potentiaal 𝑉𝑎 in een
bepaald punt a, moet je je realiseren dat 𝑉𝑎
afhankelijk is v/d keuze v/h nulniveau v/d
potentiaal. Het nulniveau voor elektrische
potentiaal kan je in een bepaalde situatie naar
eigen inzicht kiezen, net zoals je dat voor het
nulniveau voor potentiële energie in een bepaalde
situatie kunt doen, aangezien alleen verschillen
in potentiële energie kunnen worden gemeten.
Bronnen van elektrische energie (batterijen, elektrische generatoren) zijn
ontworpen om een potentiaalverschil in stand te houden. De hoeveelheid energie
die een dergelijk apparaat omzet is afhankelijk van zowel de hoeveelheid lading
die stroomt als v/h potentiaalverschil.
Opbouw v/d relatie tussen elektrische potentiaal en elektrisch veld:
- Uit de relatie tussen een conservatieve kracht 𝐹 en de potentiële energie 𝑈
uit hoofdstuk 8 weten we dat het verschil in potentiële energie tussen 2
willekeurige punten in de ruimte, a en b, wordt beschreven door:
𝑏
𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = − ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 .
𝑎
1
, - Voor de elektrische variant zijn we eerder geïnteresseerd in het
𝑈𝑏 −𝑈𝑎
potentiaalverschil (𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = ), dan
𝑞
in de potentiële energie zelf. Ook weten we uit
hoofdstuk 21 dat het elektrisch veld 𝐸⃗ in een
willekeurig punt in de ruimte gedefinieerd is
𝐹
als de kracht per eenheid van lading (𝐸⃗ = 𝑞 ).
Als we deze 2 relaties in bovenstaande
vergelijking substitueren, levert dat:
𝑏
𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 .
𝑎
Dit is de algemene relatie tussen elektrisch veld en potentiaalverschil.
- Een eenvoudig, speciaal geval is een homogeen veld. In de
figuur levert een baan evenwijdig aan de elektrische
veldlijnen van punt a op de positieve plaat naar punt b op
de negatieve plaat (omdat 𝐸⃗ en 𝑑𝑙 overal dezelfde richting
hebben):
𝑏 𝑏
𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 = −𝐸 ∫ 𝑑𝑙 = −𝐸𝑑
𝑎 𝑎
⇔ 𝑉𝑏𝑎 = −𝐸𝑑.
Voorbeeld 23.4:
Bereken de potentiaal op een afstand 𝑟 v/h middelpunt v/e
homogeen geladen, geleidende bol met straal 𝑟0 voor (a) 𝑟 > 𝑟0 ,
(b) 𝑟 = 𝑟0 en (c) 𝑟 < 𝑟0 . De totale lading op de bol is 𝑄.
→ (a) We gebruiken voorgaande, algemene relatie tussen
elektrisch veld en potentiaalverschil en integreren langs een
radiale lijn met 𝑑𝑙 evenwijdig aan 𝐸⃗ tussen 2 punten op
afstand 𝑟𝑎 en 𝑟𝑏 v/h middelpunt v/d bol:
𝑟𝑏 𝑟𝑏
𝑄 𝑑𝑟 𝑄 1 1
⃗
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − ∫ = ( − ).
𝑟𝑎 4𝜋𝜀0 𝑟𝑎 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑏 𝑟𝑎
Als we 𝑉 = 0 stellen voor 𝑟 = ∞ (we kiezen 𝑉𝑏 = 0 ter plaatse van 𝑟𝑏 = ∞), geldt in
𝑄
een willekeurig ander punt 𝑟 (voor 𝑟 > 𝑟0 ) dat: 𝑉 = 4𝜋𝜀 𝑟.
0
𝑄
→ (b) Wanneer 𝑟 nadert tot 𝑟0 zien we dat: 𝑉 = 4𝜋𝜀 .
0 𝑟0
→ (c) Voor punten binnen de geleider geldt dat 𝐸 = 0. De integraal, ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 ,
tussen 𝑟 = 𝑟0 en een willekeurig punt binnen de geleider levert geen verandering
𝑄
van 𝑉 op. Dat betekend dat 𝑉 = 𝑐 𝑡𝑒 binnen de geleider: 𝑉 = 4𝜋𝜀 𝑟 .
0 0
Voor een massieve, homogeen geladen bol geldt dus dat:
2
De verandering v/d potentiële energie tussen 2 punten a en b is gelijk aan het
tegengestelde v/d arbeid verricht door de conservatieve kracht om een voorwerp
van a naar b te verplaatsen (hoofdstuk 8). → ∆𝑈 = 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −𝑊.
Als een kleine, positieve puntlading 𝑞 (zodanig klein dat deze geen effect heeft op
𝐸⃗ ) ter plaatse v/e punt a in een homogeen elektrisch veld 𝐸⃗ wordt losgelaten, zal
de elektrische kracht arbeid op de lading verrichten en deze versnellen in de
richting v/d negatieve plaat. De arbeid 𝑊 die door het elektrisch veld 𝐸 wordt
verricht om de lading over aan afstand 𝑑 te verplaatsen is 𝑊 = 𝐹𝑑 = 𝑞𝐸𝑑.
Voor het geval v/e homogeen elektrisch veld 𝐸⃗ is de verandering v/d elektrische
potentiële energie gelijk aan het tegengestelde v/d door de elektrische kracht
verrichte arbeid. → 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −𝑊 = −𝑞𝐸𝑑.
Elektrische potentiaal = De elektrische, potentiële energie per eenheid van
𝑈
lading. → 𝑉𝑎 = 𝑞𝑎.
Elektrische potentiaalverschil (soms voltage genoemd) tussen 2 willekeurige
punten in de ruimte = Het verschil in potentiële energie v/e testlading 𝑞 geplaatst
𝑈 −𝑈 𝑊
in deze 2 punten, gedeeld door de lading 𝑞. → 𝑉𝑏𝑎 = ∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑏 𝑞 𝑎 = − 𝑞𝑏𝑎 .
Eenheid = 1𝑉 = 1𝐽/𝐶 (conversiefactor).
Als je het hebt over de potentiaal 𝑉𝑎 in een
bepaald punt a, moet je je realiseren dat 𝑉𝑎
afhankelijk is v/d keuze v/h nulniveau v/d
potentiaal. Het nulniveau voor elektrische
potentiaal kan je in een bepaalde situatie naar
eigen inzicht kiezen, net zoals je dat voor het
nulniveau voor potentiële energie in een bepaalde
situatie kunt doen, aangezien alleen verschillen
in potentiële energie kunnen worden gemeten.
Bronnen van elektrische energie (batterijen, elektrische generatoren) zijn
ontworpen om een potentiaalverschil in stand te houden. De hoeveelheid energie
die een dergelijk apparaat omzet is afhankelijk van zowel de hoeveelheid lading
die stroomt als v/h potentiaalverschil.
Opbouw v/d relatie tussen elektrische potentiaal en elektrisch veld:
- Uit de relatie tussen een conservatieve kracht 𝐹 en de potentiële energie 𝑈
uit hoofdstuk 8 weten we dat het verschil in potentiële energie tussen 2
willekeurige punten in de ruimte, a en b, wordt beschreven door:
𝑏
𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = − ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 .
𝑎
1
, - Voor de elektrische variant zijn we eerder geïnteresseerd in het
𝑈𝑏 −𝑈𝑎
potentiaalverschil (𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = ), dan
𝑞
in de potentiële energie zelf. Ook weten we uit
hoofdstuk 21 dat het elektrisch veld 𝐸⃗ in een
willekeurig punt in de ruimte gedefinieerd is
𝐹
als de kracht per eenheid van lading (𝐸⃗ = 𝑞 ).
Als we deze 2 relaties in bovenstaande
vergelijking substitueren, levert dat:
𝑏
𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 .
𝑎
Dit is de algemene relatie tussen elektrisch veld en potentiaalverschil.
- Een eenvoudig, speciaal geval is een homogeen veld. In de
figuur levert een baan evenwijdig aan de elektrische
veldlijnen van punt a op de positieve plaat naar punt b op
de negatieve plaat (omdat 𝐸⃗ en 𝑑𝑙 overal dezelfde richting
hebben):
𝑏 𝑏
𝑉𝑏𝑎 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 = −𝐸 ∫ 𝑑𝑙 = −𝐸𝑑
𝑎 𝑎
⇔ 𝑉𝑏𝑎 = −𝐸𝑑.
Voorbeeld 23.4:
Bereken de potentiaal op een afstand 𝑟 v/h middelpunt v/e
homogeen geladen, geleidende bol met straal 𝑟0 voor (a) 𝑟 > 𝑟0 ,
(b) 𝑟 = 𝑟0 en (c) 𝑟 < 𝑟0 . De totale lading op de bol is 𝑄.
→ (a) We gebruiken voorgaande, algemene relatie tussen
elektrisch veld en potentiaalverschil en integreren langs een
radiale lijn met 𝑑𝑙 evenwijdig aan 𝐸⃗ tussen 2 punten op
afstand 𝑟𝑎 en 𝑟𝑏 v/h middelpunt v/d bol:
𝑟𝑏 𝑟𝑏
𝑄 𝑑𝑟 𝑄 1 1
⃗
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = − ∫ = ( − ).
𝑟𝑎 4𝜋𝜀0 𝑟𝑎 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑏 𝑟𝑎
Als we 𝑉 = 0 stellen voor 𝑟 = ∞ (we kiezen 𝑉𝑏 = 0 ter plaatse van 𝑟𝑏 = ∞), geldt in
𝑄
een willekeurig ander punt 𝑟 (voor 𝑟 > 𝑟0 ) dat: 𝑉 = 4𝜋𝜀 𝑟.
0
𝑄
→ (b) Wanneer 𝑟 nadert tot 𝑟0 zien we dat: 𝑉 = 4𝜋𝜀 .
0 𝑟0
→ (c) Voor punten binnen de geleider geldt dat 𝐸 = 0. De integraal, ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙 ,
tussen 𝑟 = 𝑟0 en een willekeurig punt binnen de geleider levert geen verandering
𝑄
van 𝑉 op. Dat betekend dat 𝑉 = 𝑐 𝑡𝑒 binnen de geleider: 𝑉 = 4𝜋𝜀 𝑟 .
0 0
Voor een massieve, homogeen geladen bol geldt dus dat:
2
