Fixed Income Analysis
Blauwe Formules zijn de belangrijkste formules
Week 1: Basics of Fixed Income Securities
Hoofdstukken: 2.1-2.4, 2.9 en 5.1
Opdrachten: H2 opdr.7 (2, 4 en 5 self-study), H5 opdr.3 (1 self-study)
Discount Factor & Annual Compounding
Compounding Frequency is het aantal keren dat rente wordt betaald in een jaar. Als er vaker
in een jaar rente wordt betaald (compounding frequency is hoger), dan is de payoff ook
hoger. De payoff van een $100 investering wordt gegeven door:
Payoff =100∗¿
Hier bij is t het moment van investering, en T het moment van payoff. Op 10 augustus 2006
waren investeerders bereid $97.477 te betalen voor een T-bill die op 8 februari 2007 (een
$ 97.477
half jaar later) $100 zou uitbetalen. Het ratio price/payoff is dus =0.97477 , en dit is
$ 100
de discount factor, Z ( t ,T ) ,tussen de 2 data. De marktdeelnemers wilden dus $0.97
inwisselen voor $1 een half jaar later. Hierbij is t=10 aug 2006 , en T =8 feb2007 . Deze Z
wordt berekend als volgt:
1
Z ( t ,T )=
[ 1+ r ] T−t
Bij een Zero Coupon Bond met een par value van 100 wordt de prijs als volgt berekend:
PZCB =100∗Z (t , T )
Dus de discount factor (Z[t,T]) wordt als volgt berekend:
PZCB
Z ( t ,T )=
100
De discount factor is dus eigenlijk het bedrag dat investeerders nu zouden betalen, voor $1
een bepaalde periode in de toekomst. De annual compounding rate kan ook geschreven
worden als:
, 1
r ( t , T )= 1
−1
Z T −t
More Frequent Compounding
Als de rente vaker compounded wordt, en r n is de annualized n keer compounded rente, dan
is de payoff:
1
Z ( t ,T )=
( )
n∗(T −t)
r (t , T )
1+ n
n
En als je dit om wilt schrijven om de r n (t , T ) te berekenen, dan krijg je:
( )
1
r n ( t , T )=n∗ 1
−1
n∗( T −t )
Z ( t ,T )
Continuous Compounding
Als je de compounding frequency (n) naar oneindig verhoogt, wordt de compounded
interest rate gegeven als volgt:
Z ( t ,T )=e−r (t , T )∗(T −t )
Als je dit oplost naar r (t , T ), krijg je:
−ln ( Z ( t ,T ) )
r ( t , T )=
T −t
Hoe hoger de compounding frequency, hoe lager de rente, maar de discount factor blijft
hetzelfde.
Term Structure
De term structure, of spot curve, of yield curve, op tijd t laat de relatie zien tussen de rente,
en de time to maturity (T-t)
No Arbitrage and the Law of One Price
De relatie tussen verschillende Fixed Income Markets volgt vanuit de eis dat er geen
arbitrage mogelijkheden zijn, en de law of one price: assets met dezelfde payoff hebben
dezelfde prijs.
Van Zero Coupon Bonds naar Coupon Bonds
,Zoals eerder genoemd is de prijs van een zero coupon bond met een principal value van
$100 gelijk aan: P z ( t ,T )=100∗Z (t , T ). Dus als je de prijs observeert, kan je de discount
factor berekenen. Maar de meeste bonds hebben coupons, dus dit moet je mee kunnen
rekenen.
Stel je hebt een coupon bond op tijd t met coupon rate c , en semi-annual coupon payments
op T . Op elke datum T i is er een aparte discount factor Z( t , T i ), en de waarde wordt als
volgt berekend:
c∗100
Pc ( t , T n ) = ∗[ ∑ Z ( t , T i) ] +100∗Z (t , T n)
2
c∗100
Hierbij omdat de coupon payment semi-annual is. Daarnaast als je het omrekent:
2
c
Pc ( t , T n ) = ∗[ ∑ P z ( t , T i ) ] + P z (t ,T n )
2
Hierbij is Z ( t ,T i ) de discount factor op elk moment, en Z( t , T n ) de discount factor van de
laatste periode.
Getallenvoorbeeld:
- Een 4.375%, 2-jaar bond met semi-annual betaling, uitgezet op t = 3 januari 2006
- Op deze datum waren de 6-month, 1-year, 1.5-year en 2-year discounts: Z(t,t+0.5) =
0.97862, Z(t,t+1) = 0.95718, Z(t,t+1.5) = 0.936826, en Z(t,t+2) = 0.91707
- De prijs was dus:
[ ]
4
Pc ( t , T n ) =$ 2.1875∗ ∑ Z ( t , t+ 0.5∗i ) + $ 100∗0.91707=$ 99.997
i=1
Bootstrap Methodology
Je kan andersom ook met genoeg coupon bonds de impliciete waarde van zero coupon
bonds berekenen, dit heet de bootstrap methodology.
- t is een gegeven datum, en er zijn n coupon bonds.
- Elke bond i heeft een coupon c i en maturity T i.
- De cash flow betaald op tijd T j wordt genoteerd als c (T j ), dus voor een semi-annual
i
i
100∗c
coupon bond is c i ( T j )= , en voor de laatste periode (maturity date) T i is dit
2
( )
100∗ 1+
ci
2
Aanname is dat de maturities intervals hebben van 6 maanden. Dan worden de discount
factors berekend door middel van de bootstrap methodology als volgt:
, De eerste discount factor Z( t , T 1 ) is gegeven door:
Pc ( t , T 1)
Z ( t ,T 1 )=
100∗ 1+( ) c1
2
Alle andere discount factors voor i=2 , … , n zijn gegeven door:
( ( t , T j )∗c j
)
i−1
Pc ( t , T i ) −100∗ ∑Z 2
j=1
Z ( t ,T i )=
100∗ 1+( ) ci
2
Nelson-Siegel
Maar in werkelijkheid zijn betrouwbare prijzen niet beschikbaar voor elke maturity (vaak bij
langere maturities). Daarnaast worden bonds zijn niet elke dag uitgezet, dus je hebt dan
misschien wel discount factors voor T =0.4 ,0.9 , 1.4 etc.., en T =0.1 , 0.6 , 1.1 etc…, maar niet
voor T =0.5 , 1 ,1.5 , …
Dit los je op door het interpoleren van de term structure met de splines of Nelson-Siegel
method
In de Nelson-Siegel method zijn de zero-coupon rentes r (t , T ) en discount factors Z(t , T )
gegeven door:
−T −t
λ
( θ1 +θ2 )∗1−e −T−t
λ
r ( t , T )=θ0 + −θ2 e
T −t
λ
Z ( t ,T )=e−r (t , T)(T−t )
Hierbij zijn θ0 , θ1 ,θ 2 en λ parameters die geschat moeten worden vanuit de huidige bond
data.
- θ0 controleert voor het startniveau (intersect) van de term structure
- θ1 bepaalt de helling
- θ2 en λ bepalen de kromming van de term structure
Floating Rate Bonds
Bij een semi-annual floating rate bond met maturity T, worden de coupon payments c(T) op
de momenten T = 0.5, T = 1, … bepaald door de volgende formule:
Blauwe Formules zijn de belangrijkste formules
Week 1: Basics of Fixed Income Securities
Hoofdstukken: 2.1-2.4, 2.9 en 5.1
Opdrachten: H2 opdr.7 (2, 4 en 5 self-study), H5 opdr.3 (1 self-study)
Discount Factor & Annual Compounding
Compounding Frequency is het aantal keren dat rente wordt betaald in een jaar. Als er vaker
in een jaar rente wordt betaald (compounding frequency is hoger), dan is de payoff ook
hoger. De payoff van een $100 investering wordt gegeven door:
Payoff =100∗¿
Hier bij is t het moment van investering, en T het moment van payoff. Op 10 augustus 2006
waren investeerders bereid $97.477 te betalen voor een T-bill die op 8 februari 2007 (een
$ 97.477
half jaar later) $100 zou uitbetalen. Het ratio price/payoff is dus =0.97477 , en dit is
$ 100
de discount factor, Z ( t ,T ) ,tussen de 2 data. De marktdeelnemers wilden dus $0.97
inwisselen voor $1 een half jaar later. Hierbij is t=10 aug 2006 , en T =8 feb2007 . Deze Z
wordt berekend als volgt:
1
Z ( t ,T )=
[ 1+ r ] T−t
Bij een Zero Coupon Bond met een par value van 100 wordt de prijs als volgt berekend:
PZCB =100∗Z (t , T )
Dus de discount factor (Z[t,T]) wordt als volgt berekend:
PZCB
Z ( t ,T )=
100
De discount factor is dus eigenlijk het bedrag dat investeerders nu zouden betalen, voor $1
een bepaalde periode in de toekomst. De annual compounding rate kan ook geschreven
worden als:
, 1
r ( t , T )= 1
−1
Z T −t
More Frequent Compounding
Als de rente vaker compounded wordt, en r n is de annualized n keer compounded rente, dan
is de payoff:
1
Z ( t ,T )=
( )
n∗(T −t)
r (t , T )
1+ n
n
En als je dit om wilt schrijven om de r n (t , T ) te berekenen, dan krijg je:
( )
1
r n ( t , T )=n∗ 1
−1
n∗( T −t )
Z ( t ,T )
Continuous Compounding
Als je de compounding frequency (n) naar oneindig verhoogt, wordt de compounded
interest rate gegeven als volgt:
Z ( t ,T )=e−r (t , T )∗(T −t )
Als je dit oplost naar r (t , T ), krijg je:
−ln ( Z ( t ,T ) )
r ( t , T )=
T −t
Hoe hoger de compounding frequency, hoe lager de rente, maar de discount factor blijft
hetzelfde.
Term Structure
De term structure, of spot curve, of yield curve, op tijd t laat de relatie zien tussen de rente,
en de time to maturity (T-t)
No Arbitrage and the Law of One Price
De relatie tussen verschillende Fixed Income Markets volgt vanuit de eis dat er geen
arbitrage mogelijkheden zijn, en de law of one price: assets met dezelfde payoff hebben
dezelfde prijs.
Van Zero Coupon Bonds naar Coupon Bonds
,Zoals eerder genoemd is de prijs van een zero coupon bond met een principal value van
$100 gelijk aan: P z ( t ,T )=100∗Z (t , T ). Dus als je de prijs observeert, kan je de discount
factor berekenen. Maar de meeste bonds hebben coupons, dus dit moet je mee kunnen
rekenen.
Stel je hebt een coupon bond op tijd t met coupon rate c , en semi-annual coupon payments
op T . Op elke datum T i is er een aparte discount factor Z( t , T i ), en de waarde wordt als
volgt berekend:
c∗100
Pc ( t , T n ) = ∗[ ∑ Z ( t , T i) ] +100∗Z (t , T n)
2
c∗100
Hierbij omdat de coupon payment semi-annual is. Daarnaast als je het omrekent:
2
c
Pc ( t , T n ) = ∗[ ∑ P z ( t , T i ) ] + P z (t ,T n )
2
Hierbij is Z ( t ,T i ) de discount factor op elk moment, en Z( t , T n ) de discount factor van de
laatste periode.
Getallenvoorbeeld:
- Een 4.375%, 2-jaar bond met semi-annual betaling, uitgezet op t = 3 januari 2006
- Op deze datum waren de 6-month, 1-year, 1.5-year en 2-year discounts: Z(t,t+0.5) =
0.97862, Z(t,t+1) = 0.95718, Z(t,t+1.5) = 0.936826, en Z(t,t+2) = 0.91707
- De prijs was dus:
[ ]
4
Pc ( t , T n ) =$ 2.1875∗ ∑ Z ( t , t+ 0.5∗i ) + $ 100∗0.91707=$ 99.997
i=1
Bootstrap Methodology
Je kan andersom ook met genoeg coupon bonds de impliciete waarde van zero coupon
bonds berekenen, dit heet de bootstrap methodology.
- t is een gegeven datum, en er zijn n coupon bonds.
- Elke bond i heeft een coupon c i en maturity T i.
- De cash flow betaald op tijd T j wordt genoteerd als c (T j ), dus voor een semi-annual
i
i
100∗c
coupon bond is c i ( T j )= , en voor de laatste periode (maturity date) T i is dit
2
( )
100∗ 1+
ci
2
Aanname is dat de maturities intervals hebben van 6 maanden. Dan worden de discount
factors berekend door middel van de bootstrap methodology als volgt:
, De eerste discount factor Z( t , T 1 ) is gegeven door:
Pc ( t , T 1)
Z ( t ,T 1 )=
100∗ 1+( ) c1
2
Alle andere discount factors voor i=2 , … , n zijn gegeven door:
( ( t , T j )∗c j
)
i−1
Pc ( t , T i ) −100∗ ∑Z 2
j=1
Z ( t ,T i )=
100∗ 1+( ) ci
2
Nelson-Siegel
Maar in werkelijkheid zijn betrouwbare prijzen niet beschikbaar voor elke maturity (vaak bij
langere maturities). Daarnaast worden bonds zijn niet elke dag uitgezet, dus je hebt dan
misschien wel discount factors voor T =0.4 ,0.9 , 1.4 etc.., en T =0.1 , 0.6 , 1.1 etc…, maar niet
voor T =0.5 , 1 ,1.5 , …
Dit los je op door het interpoleren van de term structure met de splines of Nelson-Siegel
method
In de Nelson-Siegel method zijn de zero-coupon rentes r (t , T ) en discount factors Z(t , T )
gegeven door:
−T −t
λ
( θ1 +θ2 )∗1−e −T−t
λ
r ( t , T )=θ0 + −θ2 e
T −t
λ
Z ( t ,T )=e−r (t , T)(T−t )
Hierbij zijn θ0 , θ1 ,θ 2 en λ parameters die geschat moeten worden vanuit de huidige bond
data.
- θ0 controleert voor het startniveau (intersect) van de term structure
- θ1 bepaalt de helling
- θ2 en λ bepalen de kromming van de term structure
Floating Rate Bonds
Bij een semi-annual floating rate bond met maturity T, worden de coupon payments c(T) op
de momenten T = 0.5, T = 1, … bepaald door de volgende formule:
