Er zijn vier kansverdelingen die jullie deze week leren kennen, waarvan twee wat
uitgebreider:
- de binomiale verdeling, die gebruikt wordt bij dichotome variabelen
- de normaalverdeling, die gebruikt wordt bij kwantitatieve, continue variabelen, en
als variabelen een symmetrische klokvorm hebben ('bell curve'). De
standaardnormale verdeling is hier een 'smaak' van.
Daarnaast zijn er nog twee veelgebruikte kansverdelingen:
- de poissonverdeling, die gebruikt wordt bij kwantitatieve, discrete variabelen
('telvariabelen'). Meestal wordt dit gebruikt bij zeldzame gebeurtenissen, zoals het
aantal blikseminslagen in een gemeente per jaar. Een poissonverdeling is dan ook
vaak rechts scheef - maar hoe groter de verwachtingswaarde λ(lambda) wordt (het
aantal blikseminslagen), hoe symmetrischer de verdeling wordt.
- de lognormale verdeling, die gebruikt wordt bij kwantitatieve, continue variabelen,
die erg asymmetrisch verdeeld zijn (scheef rechts). De verdeling wordt log-normaal
genoemd omdat een logaritmische transformatie van de variabele een normale
verdeling oplevert, zie hieronder.
Centrale limietstelling:
Een kleine introductie... Als we een steekproef nemen, dan is onze steekproef nooit een
perfect afspiegeling van de populatie (we weten wel: hoe groter de steekproef, hoe beter hij
meestal is), maar, steekproeven zijn (als het goed is) wel representatief voor de populatie.
Daarom liggen de meeste steekproefgemiddelden dichtbij het populatiegemiddelde. Dit
betekent ook het volgende: als de meeste steekproeven een gemiddelde hebben dichtbij het
populatiegemiddelde, dan zijn er maar weinig steekproeven met een gemiddelde veraf van
het populatiegemiddelde. De steekproefgemiddelden volgen een normale verdeling rondom
het populatiegemiddelde. Dit betekent dat de puntschattingen van een steekproef
(gemiddelde en standaarddeviatie) zelf een kansverdeling volgen (namelijk een normale
verdeling). Hier gaat de centrale limietstelling over.
De centrale limietstelling stelt twee dingen:
1. Als we willekeurige steekproeven nemen (van welke grootte dan ook) van een
populatie met een normale verdeling, dan is de verdeling van
steekproefgemiddelden normaal verdeeld.
2. Als we willekeurige steekproeven van voldoende grootte (n≥30) nemen van een
populatie met welke verdeling dan ook, dan is de verdeling van
steekproefgemiddelden ongeveer normaal verdeeld.
Twisk- Inleiding in de toegepaste biostatistiek H3.2, 3.3 + 3.5: Achterliggende
principes van de verklarende statistiek.
In de statistiek speelt het begrip kans een belangrijke rol; de kans op een bepaalde uitkomst
kan worden gedefinieerd als 1 gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten. De maximale
kans is dus gelijk aan 100%.
1
, Een kansverdeling is te zien als de theoretische kans op verschillende uitkomsten. Stel er
wordt twee keer een munt opgegooid en we zijn geïnteresseerd in het aantal keren dat er
munt gegooid wordt. Voor het aantal keren munt kun je een kansverdeling opstellen.
Eerste worp Tweede worp Kans
Munt Munt 25%
Munt Kop 25%
Kop Kop 25%
Kop Munt 25%
De kans op twee keer munt is 25%, de kans op een keer munt 50% en de kans op nul keer
munt 25%
Binomiale kansverdeling: de kansverdeling die hoort bij een situatie waarbij er maar twee
mogelijkheden zijn.
Een voorbeeld van een binomiale kansverdeling is het gooien van dobbelstenen. Stel er
wordt twee keer een dobbelsteen gegooid en we zijn geïnteresseerd in het aantal keren dat
er 6 wordt gegooid. Ook in deze situatie zijn er twee mogelijkheden (6 vs. geen 6).
Eerste worp Tweede worp Kans
6 6 1/6 x 1/6 = 1/36
6 Geen 6 1/6 x 5/6 = 5/36
Geen 6 6 5/6 x 1/6 = 5/36
Geen 6 Geen 6 5/6 x 5/6 = 25/36
Bij meer experimenten wordt het al snel lastig, om in dit soort situaties toch de kansverdeling
te bepalen kan gebruikgemaakt worden van een algemene formule.
Waarbij:
P = kans
r = het aantal van de mogelijkheid waarin we
geïnteresseerd zijn
n = aantal keren dat het experiment herhaald
wordt
n! = faculteit
p = kans op de mogelijkheid waarin we
geïnteresseerd zijn
Als we bijvoorbeeld de kans moeten uitrekenen op een keer 6 in twee worpen met een
dobbelsteen, dan ziet de formule er als volgt uit:
2
uitgebreider:
- de binomiale verdeling, die gebruikt wordt bij dichotome variabelen
- de normaalverdeling, die gebruikt wordt bij kwantitatieve, continue variabelen, en
als variabelen een symmetrische klokvorm hebben ('bell curve'). De
standaardnormale verdeling is hier een 'smaak' van.
Daarnaast zijn er nog twee veelgebruikte kansverdelingen:
- de poissonverdeling, die gebruikt wordt bij kwantitatieve, discrete variabelen
('telvariabelen'). Meestal wordt dit gebruikt bij zeldzame gebeurtenissen, zoals het
aantal blikseminslagen in een gemeente per jaar. Een poissonverdeling is dan ook
vaak rechts scheef - maar hoe groter de verwachtingswaarde λ(lambda) wordt (het
aantal blikseminslagen), hoe symmetrischer de verdeling wordt.
- de lognormale verdeling, die gebruikt wordt bij kwantitatieve, continue variabelen,
die erg asymmetrisch verdeeld zijn (scheef rechts). De verdeling wordt log-normaal
genoemd omdat een logaritmische transformatie van de variabele een normale
verdeling oplevert, zie hieronder.
Centrale limietstelling:
Een kleine introductie... Als we een steekproef nemen, dan is onze steekproef nooit een
perfect afspiegeling van de populatie (we weten wel: hoe groter de steekproef, hoe beter hij
meestal is), maar, steekproeven zijn (als het goed is) wel representatief voor de populatie.
Daarom liggen de meeste steekproefgemiddelden dichtbij het populatiegemiddelde. Dit
betekent ook het volgende: als de meeste steekproeven een gemiddelde hebben dichtbij het
populatiegemiddelde, dan zijn er maar weinig steekproeven met een gemiddelde veraf van
het populatiegemiddelde. De steekproefgemiddelden volgen een normale verdeling rondom
het populatiegemiddelde. Dit betekent dat de puntschattingen van een steekproef
(gemiddelde en standaarddeviatie) zelf een kansverdeling volgen (namelijk een normale
verdeling). Hier gaat de centrale limietstelling over.
De centrale limietstelling stelt twee dingen:
1. Als we willekeurige steekproeven nemen (van welke grootte dan ook) van een
populatie met een normale verdeling, dan is de verdeling van
steekproefgemiddelden normaal verdeeld.
2. Als we willekeurige steekproeven van voldoende grootte (n≥30) nemen van een
populatie met welke verdeling dan ook, dan is de verdeling van
steekproefgemiddelden ongeveer normaal verdeeld.
Twisk- Inleiding in de toegepaste biostatistiek H3.2, 3.3 + 3.5: Achterliggende
principes van de verklarende statistiek.
In de statistiek speelt het begrip kans een belangrijke rol; de kans op een bepaalde uitkomst
kan worden gedefinieerd als 1 gedeeld door het aantal mogelijke uitkomsten. De maximale
kans is dus gelijk aan 100%.
1
, Een kansverdeling is te zien als de theoretische kans op verschillende uitkomsten. Stel er
wordt twee keer een munt opgegooid en we zijn geïnteresseerd in het aantal keren dat er
munt gegooid wordt. Voor het aantal keren munt kun je een kansverdeling opstellen.
Eerste worp Tweede worp Kans
Munt Munt 25%
Munt Kop 25%
Kop Kop 25%
Kop Munt 25%
De kans op twee keer munt is 25%, de kans op een keer munt 50% en de kans op nul keer
munt 25%
Binomiale kansverdeling: de kansverdeling die hoort bij een situatie waarbij er maar twee
mogelijkheden zijn.
Een voorbeeld van een binomiale kansverdeling is het gooien van dobbelstenen. Stel er
wordt twee keer een dobbelsteen gegooid en we zijn geïnteresseerd in het aantal keren dat
er 6 wordt gegooid. Ook in deze situatie zijn er twee mogelijkheden (6 vs. geen 6).
Eerste worp Tweede worp Kans
6 6 1/6 x 1/6 = 1/36
6 Geen 6 1/6 x 5/6 = 5/36
Geen 6 6 5/6 x 1/6 = 5/36
Geen 6 Geen 6 5/6 x 5/6 = 25/36
Bij meer experimenten wordt het al snel lastig, om in dit soort situaties toch de kansverdeling
te bepalen kan gebruikgemaakt worden van een algemene formule.
Waarbij:
P = kans
r = het aantal van de mogelijkheid waarin we
geïnteresseerd zijn
n = aantal keren dat het experiment herhaald
wordt
n! = faculteit
p = kans op de mogelijkheid waarin we
geïnteresseerd zijn
Als we bijvoorbeeld de kans moeten uitrekenen op een keer 6 in twee worpen met een
dobbelsteen, dan ziet de formule er als volgt uit:
2
