Samenvatting syllabus

SAMENVATTING DYNAMICA VAN LINEAIRE SYSTEMEN


2. Systemen
2.1 Systemen en signalen
Een systeem is een gerichte selectie van onderdelen uit de totale werkelijkheid, met het doel om
deze selectie nader te kunnen bestuderen.
De omgeving van het systeem is het overblijvende deel van de werkelijkheid.
 De systeemgrens is de afscheiding tussen het systeem en de omgeving. Dit is altijd een
gesloten oppervlak, dus er zitten geen gaten in.
 Er is een wisselwerking tussen systeem en omgeving.

Ingangsvariabelen beïnvloeden vanuit de omgeving het systeem en uitgangsvariabelen (y) zijn
variabelen van het systeem waar we om de een of andere manier belang in stellen (hier zijn we
geïnteresseerd in)
- Ingangsvariabelen worden verdeeld in
o Stuurvariabelen (u) – zijn beïnvloedbaar
o Stoorvariabelen (v/w) – zijn niet beïnvloedbaar

Parameters worden gebruikt bij de beschrijving van systemen. Dit zijn constanten waarvan de
waarde invloed heeft op het gedrag van het systeem.

2.2 Onderverdeling van systemen
Dynamica loze en dynamische systemen
Een systeem heet dynamica loos als de uitgang van het systeem alleen wordt bepaald door de
ingang op dat moment. De in- en uitgang zijn gekoppeld door een algebraïsche relatie.
Een systeem heet dynamisch als de uitgang (ten dele) bepaald wordt door de waarden van de ingang
op eerdere tijdstippen.

De relatie tussen ingang en uitgang van een dynamisch systeem wordt beschreven door een
differentieelvergelijking.
- In zo’n vergelijking treden er per definitie tijdsafgeleiden van de uitgang op (soms ook van de
ingang). Y moet dus als functie van de tijd beschouwd worden, want zo kunnen we de
tijdsafgeleiden bepalen  y(t) & u(t)

Lineaire en niet-lineaire systemen
Een lineair systeem heeft de volgende twee eigenschappen:
1. Als een lineair systeem voor twee willekeurige ingangen bekend is wat de bijbehorende
uitgang is, dan is de uitgang voor de som van de twee ingangen gelijk aan de som van de
twee bekende uitgangen.
- Gesommeerde ingang u1 + u2= y1 + y2
2. Als van een lineair systeem bekend is welke uitgang bij een bepaalde willekeurige ingang
hoort, dan vinden we bij een α maal zo grote ingang een α maal zo grote uitgang
- De ingang αu levert uitgang αy op (waarbij α een willekeurige constante is)
 Combinatie van beide voorwaarde heet het superpositiebeginsel
 een lineaire diff. vergelijking

Tijdsonafhankelijke en tijdsafhankelijke systemen
Een tijdsonafhankelijk systeem gedraagt zich altijd hetzelfde; het is dus geen functie van de tijd 
hetzelfde ingangssignaal levert steeds hetzelfde uitgangssignaal, onafhankelijk van het moment
waarop het het systeem in gaat.

1

, SAMENVATTING DYNAMICA VAN LINEAIRE SYSTEMEN

- Langzame veranderingen hebben een verwaarloosbaar effect op snelle veranderingen

In deze cursus houden we ons alleen bezig met tijdsonafhankelijke systemen.

SISO en MIMO systemen
SISO = Single-Input, Single-Output
MIMO = Multi-Input, Multi-Output

Stabiele en instabiele systemen
Een systeem is stabiel als voor elk begrensd ingangssignaal de uitgang ook begrensd is; is dit niet het
geval , dan is het systeem instabiel.
- Een signaal x is begrensd als er een getal K bestaat, waarvoor geldt dat |x(t)| < K voor alle t
 mag dus nooit naar oneindig gaan
- Uit de differentiaalvergelijking van een systeem kan bepaald worden of een systeem stabiel
is

Compacte en verdeelde systemen
Verdeelde systemen worden beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen. In deze cursus
beperken we ons tot compacte systemen, waarbij alleen afgeleiden naar de tijd een rol spelen

2.3 Standaard ingangssignalen
Stap
Bij een stapvormig signaal verandert de waarde op een zeker moment van een bepaalde vaste
waarde naar een bepaalde andere vaste waarde.
Impuls
Als een stap wordt gevolgd door een omgekeerde stap van dezelfde grootte, dan ontstaat een
blokvormig signaal. We kunnen de duur van het blok laten afnemen op een zodanige manier dat de
oppervlakte onder het blok steeds gelijk blijft
- Als de oppervlakte onder het blok gelijk is aan 1, dan spreken we van een eenheidsblok.
o Noemen we de duur van het blok T, dan is de hoogte precies 1/T
 Als we de duur T verder laten afnemen naar 0 & de hoogte van 1/T verder
laten toenemen, dan krijgen we een eenheidsimpuls  heeft dus een
oneindig korte duur, een oneindig grote hoogte en een oppervlakte 1
 Een impulsresponsie is de responsie op een dergelijke eenheidsimpuls, op
dezelfde manier als een stapresponsie de responsie is op een eenheidsstap
 De eenheidsstap is de integraal van de eenheidsimpuls
 De integraal van een eenheidsblok is dus een signaal dat voor t<0 de
waarde 0 heeft, dan over de duur van het blok lineair toeneemt tot 1
en daarna een constante waarde 1 houdt. Duurt het eenheidsblok
oneindig kort dan gaat zijn integraal van 0 naar 1 in oneindig korte
tijd  precies een eenheidsstap
Helling
Een hellingvormig signaal heeft waarde 0 voor t<0 en neemt dan lineair toe met de tijd.
De eenheidshelling is de integraal van de eenheidsstap en de eenheidsstap is de afgeleide van de
eenheidshelling.
- Een hellingvormig ingangssignaal is met name geschikt om te zien hoe het systeem zich
gedraagt wanneer de ingang continu verandert.
- De ingang blijft vanaf t=0 steeds toenemen in de tijd
Sinusoïde
We gebruiken sinusoïde met eenheidsamplitude: 

2