SIMULATIEMODELLEN VAN SKELETSYSTEMEN
1. Inleiding Syllab
1.1 Onderzoek naar bewegen
us
De maximale haalbare prestatie wordt uiteindelijk bepaald door de bouw en eigenschappen van het
spier-skelet-stelsel. Denk hierbij aan anatomische factoren, fysiologische factoren en biochemische
factoren.
De feitelijke prestatie wordt echter in sterke mate bepaald door de aansturing van de spieren, de
coördinatie.
1.2 Waarom simuleren?
Voor het zoeken naar een antwoord op vragen met betrekking tot de relatie tussen eigenschappen
van het spier-skelet-stelsel en de maximale haalbare prestatie tijdens bewegingen zijn wiskundige
modellen een goed alternatief; wiskundige modellen van het spier-skelet-stelsel en kunnen daarmee
bewegingen simuleren. Het grote voordeel van bewegingssimulatie is dat men volledige controle
heeft over de inputs en alle parameters van het model. Daarnaast ook volledige toegang tot alle
variabelen van het model tijdens de gesimuleerde bewegingen.
d.m.v. optimalisatie kan men de optimale inputs zoeken, d.w.z. die inputs waarmee het
kwantificeerbare doel van de taak gemaximaliseerd wordt.
2. De dynamica van een rigid body in 2D (een
samenvatting)
Een model van het skelet zal in alle gevallen een onderdeel zijn van het complete model.
Een energievergelijking voor een rigid body wordt vaak gebruikt om na te gaan of een simulatie goed
is verlopen.
2.1 De Newtoniaanse bewegingsvergelijkingen voor de translatie van
het zwaartepunt.
De bewegingen van een rigid body in 2D wordt beschreven ten opzichte van een vast met de aarde
verbonden rechthoekig assenstelsel. Dit assenstelsel wordt opgevat als een inertiaal assenstelsel,
d.w.z. een assenstelsel waarin de tweede hoofdwet van Newton geldig is.
Volgende de 2de hoofdwet wort op elk tijdstip de versnelling van het zwaartepunt bepaald
door de krachtensom. Je krijgt dan twee scalaire vergelijkingen:
2.2 De bewegingsvergelijking voor de rotatie van een rigid body
Met de 2de wet ligt de beweging van het zwaartepunt helemaal vast, als functie van de uitgeoefende
krachten. Echter zegt deze wet niets over de rotatie van het rigid body. De rotatie wordt bepaalt aan
de hand van de impulsmoment-vergelijking (op elk tijdstip wordt de tijdsafgeleide van de
impulsmomentvector van het r.b. bepaald door de momentensom):
Het moment van kracht i wordt berekend als het vectorproduct van ri en Fi.
De uiteindelijke momentenvergelijking:
1
, SIMULATIEMODELLEN VAN SKELETSYSTEMEN
2.3 De energie-en vermogensvergelijking voor een rigid body in 2D
Als op een r.b. NF krachten aangrijpen en nM zuivere momenten, dan geldt over een willekeurige
beweging de volgende scalaire energie-vergelijking:
De rechterkant beschrijft de verandering van de translatoire kinetische energie van het
zwaartepunt (1e + 2e term) plus verandering van de rotatie-energie (3 de term)
Verandering van potentiële energie is in deze vergelijking verwerkt als de arbeid van de
zwaartekracht
Soms is het handiger om de integraal over positie te vervangen door een integraal over tijd:
o Hieruit kan direct de instantane vermogensvergelijking voor een r.b. worden
afgeleid, door deze vergelijking te differentiëren naar tijd:
Dit gaat over een enkel tijdstipt & de energievergelijking gaat over een
tijdsinterval alleen de energievergelijking kan gebruikt worden om te
controleren of er fouten zijn gemaakt tijdens het numeriek integreren
(simuleren)
3. Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen:
Gauss eliminatie
Bij het opstellen van de dynamische bewegingsvergelijking voor een (keten van) segment(en) (H2) zal
blijken dat dit resulteert in een stelsel vergelijkingen waarin de onbekende versnellingen en
reactiekrachten lineair voorkomen. Daarnaast zijn er meerdere onbekenden in elk van de
vergelijkingen voor zulke stelsels is een standaard-oplossingsmethode: Gauss eliminatie.
Om de methode van Gauss eliminatie te kunnen toepassen moet een dergelijk stelsel
worden geschreven als één grote matrixvergelijking A * x = b
o A = vierkante matrix met coëfficiënten
o x = een kolomvector met de onbekenden
o b = een kolomvector met coëfficiënten
x = A\b (in Matlab)
4. Vrijheidsgraden en toestandsvariabelen
Een belangrijke vraag in deze cursus is hoeveel vergelijken we gaan opstellen bij de dynamica van het
skeletsysteem (dat beschreven wordt met krachten-en momentenvergelijkingen) en daarbij het
aantal onbekenden in die vergelijkingen. Om dit te kunnen beantwoorden moet je kijken naar het
aantal vrijheidsgraden (DOF) en het aantal toestandsvariabelen
4.1 Vrijheidsgraden
Om de positie van een mechanisch systeem vast te leggen maken we gebruik van coördinaten
Bij te weinig coördinaten is de positie niet volledig vastgelegd
Bij te veel coördinaten ontstaat er inconsistentie ofwel redundantie (je kan één van de
coördinaten weglaten zonder dat dit leidt tot informatieverlies)
2
, SIMULATIEMODELLEN VAN SKELETSYSTEMEN
Voorkeur: de positie van een mechanisch systeem vast te leggen met precies het ‘goede’
aantal coördinaten. ‘Goede’ = het kleinst mogelijk aantal waarmee de positie van het
systeem volledig vastligt. Dit aantal is DOF
o 2D 2DOF (punt) & 3DOF (rigid body)
o 3D 3DOF (punt) & 6DOF (rigid body)
Het gaat dus om het minimaal benodigde aantal coördinaten; het gaat dus niet om welke
variabelen precies als coördinaten willen gebruiken.
Kinematische beperkingen die we aan een systeem opleggen zorgen ervoor dat het aantal DOF
afneemt. In wiskundige zin is het zo dat elke toegevoegde vergelijking waaraan de coördinaten
moeten voldoen het aantal DOF met één doet afnemen.
4.2 Toestandsvariabelen
Toestandsvariabelen is een begrip dat veel wordt gebruik als het gaat over dynamische systemen,
d.w.z. systemen die worden beschreven door differentiaalvergelijkingen.
Mechanische systemen zijn voorbeelden van dynamische systemen
Voor elk dynamisch systeem kunnen we de vraag stellen van hoeveel onderling
onafhankelijke variabelen van het systeem we de waarde moeten kennen op een zeker
tijdstip om op dat tijdstip alles van het systeem te weten wat de lengte is van de
toestandsvector van het systeem
Om de toestand van een n-de orde differentiaalvergelijking vast te leggen, hebben we n toestanden
nodig.
De relatie tussen het aantal DOF en het aantal toestanden
De dynamische bewegingsvergelijkingen leggen altijd een relatie tussen krachten
(momenten) en (hoek)versnellingen
Voor elke vrijheidsgraad van een mechanisch systeem valt een dynamische
bewegingsvergelijking op te stellen die beschrijft hoe de versnelling van die vrijheidsgraad
afhangt van inputs en van positie en snelheid is dus een 2de orde en we hebben 2
toestanden nodig
o Het aantal toestanden is gelijk aan de orde van de ODE
NSTATES = 2*NDOF
5. Splitsen van een n-de orde differentiaalvergelijking in
n 1e orde differentiaalvergelijkingen
Voor het simuleren van differentiaalvergelijkingen zijn allerlei algoritmen ontwikkeld die echter
allemaal gemeen hebben dat zij uitsluitend overweg kunnen met stelsels van eerste orde gewone
differentiaalvergelijkingen (ODE’s). Het gedrag van elke DOF wordt gedicteerd door een tweede orde
differentiaalvergelijking. De vraag is hoe we een gegeven tweede orde differentiaalvergelijking
verteerbaar maken voor een simulatie-algoritme dat alleen eerste orde ODE’s lust.
Voor ons is het met name van belang om een 2 de orde ODE voor een mechanische DOF om te kunnen
zetten naar 2 1ste orde ODE’s. Voorbeeld:
Bovenstaande stelt ons in staat om het stelsel van NDOF tweede orde ODE’s dat de dynamica van
een mechanisch systeem met NDOF vrijheidsgraden beschrijft om te kunnen schrijven als een stelsel
3
1. Inleiding Syllab
1.1 Onderzoek naar bewegen
us
De maximale haalbare prestatie wordt uiteindelijk bepaald door de bouw en eigenschappen van het
spier-skelet-stelsel. Denk hierbij aan anatomische factoren, fysiologische factoren en biochemische
factoren.
De feitelijke prestatie wordt echter in sterke mate bepaald door de aansturing van de spieren, de
coördinatie.
1.2 Waarom simuleren?
Voor het zoeken naar een antwoord op vragen met betrekking tot de relatie tussen eigenschappen
van het spier-skelet-stelsel en de maximale haalbare prestatie tijdens bewegingen zijn wiskundige
modellen een goed alternatief; wiskundige modellen van het spier-skelet-stelsel en kunnen daarmee
bewegingen simuleren. Het grote voordeel van bewegingssimulatie is dat men volledige controle
heeft over de inputs en alle parameters van het model. Daarnaast ook volledige toegang tot alle
variabelen van het model tijdens de gesimuleerde bewegingen.
d.m.v. optimalisatie kan men de optimale inputs zoeken, d.w.z. die inputs waarmee het
kwantificeerbare doel van de taak gemaximaliseerd wordt.
2. De dynamica van een rigid body in 2D (een
samenvatting)
Een model van het skelet zal in alle gevallen een onderdeel zijn van het complete model.
Een energievergelijking voor een rigid body wordt vaak gebruikt om na te gaan of een simulatie goed
is verlopen.
2.1 De Newtoniaanse bewegingsvergelijkingen voor de translatie van
het zwaartepunt.
De bewegingen van een rigid body in 2D wordt beschreven ten opzichte van een vast met de aarde
verbonden rechthoekig assenstelsel. Dit assenstelsel wordt opgevat als een inertiaal assenstelsel,
d.w.z. een assenstelsel waarin de tweede hoofdwet van Newton geldig is.
Volgende de 2de hoofdwet wort op elk tijdstip de versnelling van het zwaartepunt bepaald
door de krachtensom. Je krijgt dan twee scalaire vergelijkingen:
2.2 De bewegingsvergelijking voor de rotatie van een rigid body
Met de 2de wet ligt de beweging van het zwaartepunt helemaal vast, als functie van de uitgeoefende
krachten. Echter zegt deze wet niets over de rotatie van het rigid body. De rotatie wordt bepaalt aan
de hand van de impulsmoment-vergelijking (op elk tijdstip wordt de tijdsafgeleide van de
impulsmomentvector van het r.b. bepaald door de momentensom):
Het moment van kracht i wordt berekend als het vectorproduct van ri en Fi.
De uiteindelijke momentenvergelijking:
1
, SIMULATIEMODELLEN VAN SKELETSYSTEMEN
2.3 De energie-en vermogensvergelijking voor een rigid body in 2D
Als op een r.b. NF krachten aangrijpen en nM zuivere momenten, dan geldt over een willekeurige
beweging de volgende scalaire energie-vergelijking:
De rechterkant beschrijft de verandering van de translatoire kinetische energie van het
zwaartepunt (1e + 2e term) plus verandering van de rotatie-energie (3 de term)
Verandering van potentiële energie is in deze vergelijking verwerkt als de arbeid van de
zwaartekracht
Soms is het handiger om de integraal over positie te vervangen door een integraal over tijd:
o Hieruit kan direct de instantane vermogensvergelijking voor een r.b. worden
afgeleid, door deze vergelijking te differentiëren naar tijd:
Dit gaat over een enkel tijdstipt & de energievergelijking gaat over een
tijdsinterval alleen de energievergelijking kan gebruikt worden om te
controleren of er fouten zijn gemaakt tijdens het numeriek integreren
(simuleren)
3. Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen:
Gauss eliminatie
Bij het opstellen van de dynamische bewegingsvergelijking voor een (keten van) segment(en) (H2) zal
blijken dat dit resulteert in een stelsel vergelijkingen waarin de onbekende versnellingen en
reactiekrachten lineair voorkomen. Daarnaast zijn er meerdere onbekenden in elk van de
vergelijkingen voor zulke stelsels is een standaard-oplossingsmethode: Gauss eliminatie.
Om de methode van Gauss eliminatie te kunnen toepassen moet een dergelijk stelsel
worden geschreven als één grote matrixvergelijking A * x = b
o A = vierkante matrix met coëfficiënten
o x = een kolomvector met de onbekenden
o b = een kolomvector met coëfficiënten
x = A\b (in Matlab)
4. Vrijheidsgraden en toestandsvariabelen
Een belangrijke vraag in deze cursus is hoeveel vergelijken we gaan opstellen bij de dynamica van het
skeletsysteem (dat beschreven wordt met krachten-en momentenvergelijkingen) en daarbij het
aantal onbekenden in die vergelijkingen. Om dit te kunnen beantwoorden moet je kijken naar het
aantal vrijheidsgraden (DOF) en het aantal toestandsvariabelen
4.1 Vrijheidsgraden
Om de positie van een mechanisch systeem vast te leggen maken we gebruik van coördinaten
Bij te weinig coördinaten is de positie niet volledig vastgelegd
Bij te veel coördinaten ontstaat er inconsistentie ofwel redundantie (je kan één van de
coördinaten weglaten zonder dat dit leidt tot informatieverlies)
2
, SIMULATIEMODELLEN VAN SKELETSYSTEMEN
Voorkeur: de positie van een mechanisch systeem vast te leggen met precies het ‘goede’
aantal coördinaten. ‘Goede’ = het kleinst mogelijk aantal waarmee de positie van het
systeem volledig vastligt. Dit aantal is DOF
o 2D 2DOF (punt) & 3DOF (rigid body)
o 3D 3DOF (punt) & 6DOF (rigid body)
Het gaat dus om het minimaal benodigde aantal coördinaten; het gaat dus niet om welke
variabelen precies als coördinaten willen gebruiken.
Kinematische beperkingen die we aan een systeem opleggen zorgen ervoor dat het aantal DOF
afneemt. In wiskundige zin is het zo dat elke toegevoegde vergelijking waaraan de coördinaten
moeten voldoen het aantal DOF met één doet afnemen.
4.2 Toestandsvariabelen
Toestandsvariabelen is een begrip dat veel wordt gebruik als het gaat over dynamische systemen,
d.w.z. systemen die worden beschreven door differentiaalvergelijkingen.
Mechanische systemen zijn voorbeelden van dynamische systemen
Voor elk dynamisch systeem kunnen we de vraag stellen van hoeveel onderling
onafhankelijke variabelen van het systeem we de waarde moeten kennen op een zeker
tijdstip om op dat tijdstip alles van het systeem te weten wat de lengte is van de
toestandsvector van het systeem
Om de toestand van een n-de orde differentiaalvergelijking vast te leggen, hebben we n toestanden
nodig.
De relatie tussen het aantal DOF en het aantal toestanden
De dynamische bewegingsvergelijkingen leggen altijd een relatie tussen krachten
(momenten) en (hoek)versnellingen
Voor elke vrijheidsgraad van een mechanisch systeem valt een dynamische
bewegingsvergelijking op te stellen die beschrijft hoe de versnelling van die vrijheidsgraad
afhangt van inputs en van positie en snelheid is dus een 2de orde en we hebben 2
toestanden nodig
o Het aantal toestanden is gelijk aan de orde van de ODE
NSTATES = 2*NDOF
5. Splitsen van een n-de orde differentiaalvergelijking in
n 1e orde differentiaalvergelijkingen
Voor het simuleren van differentiaalvergelijkingen zijn allerlei algoritmen ontwikkeld die echter
allemaal gemeen hebben dat zij uitsluitend overweg kunnen met stelsels van eerste orde gewone
differentiaalvergelijkingen (ODE’s). Het gedrag van elke DOF wordt gedicteerd door een tweede orde
differentiaalvergelijking. De vraag is hoe we een gegeven tweede orde differentiaalvergelijking
verteerbaar maken voor een simulatie-algoritme dat alleen eerste orde ODE’s lust.
Voor ons is het met name van belang om een 2 de orde ODE voor een mechanische DOF om te kunnen
zetten naar 2 1ste orde ODE’s. Voorbeeld:
Bovenstaande stelt ons in staat om het stelsel van NDOF tweede orde ODE’s dat de dynamica van
een mechanisch systeem met NDOF vrijheidsgraden beschrijft om te kunnen schrijven als een stelsel
3
