18 Periodieke functies
Voorkennis
V1 a Eén ademhaling duurt 5 seconden.
b Er zit minimaal 1 liter en maximaal 4 liter lucht in de longen.
c Er zit gemiddeld 2,5 liter lucht in de longen en de maximale afwijking ten
opzichte van dit gemiddelde is 1,5 liter.
V2 a Grafiek 1:
evenwichtsstand: (4 + −2) : 2 = 1
amplitude: 4 − 1 = 3
periode: 1 − −5 = 6
Grafiek 2:
evenwichtsstand: (1 + −4) : 2 = −1,5
amplitude: 1 − −1,5 = 2,5
periode: (5 − −3) × 2 = 8 × 2 = 16
b Grafiek 3 is niet periodiek, omdat de grafiek geen stukje heeft dat zichzelf
steeds herhaalt.
V3 y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V4 a Na 60 : 4 = 15 seconden is punt A voor het eerst op de hoogte van de as.
30 seconden later (dus 45 seconden na het begin) is punt A weer op de
hoogte van de as.
b Het hoogste punt bevindt zich 20 meter boven de as van het reuzenrad, dus
de straal van het rad is 20 meter.
c Punt A is na 80 seconden even hoog als na 20 seconden, dus 10 meter hoog.
d In de eerste minuut bevindt punt A zich na 10 seconden en na 50
seconden 10 meter onder de as. De grafiek herhaalt zich met een periode
van 60 seconden, dus punt A bevindt zich ook 10 meter onder de as na
bijvoorbeeld 70 seconden, 110 seconden en 130 seconden.
e Punt A legt in één minuut een cirkel af met een straal van 20 meter.
Dat is 2 · π · 20 ≈ 126 meter.
V5 a Bij x = 1 is de y-waarde bij f gelijk aan 0 en bij g gelijk aan −3. Je krijgt de
grafiek van g dus door de grafiek van f drie eenheden omlaag te schuiven.
Dus g (x) = f (x) − 3 = 3log(x) − 3.
b Bij iedere x-waarde is de y-waarde bij h twee keer zo groot als bij f.
Alle punten op de grafiek liggen twee keer zo ver van de x-as af.
c h(x) = 2 · f (x) = 2 · 2log(x)
6 Hoofdstuk 18 Periodieke functies © Noordhoff Uitgevers bv
, d j(x) = f (x) + 6 = 2log(x) + 6
e y
7
l
6 h
5
4
f
3
2
1
g
O x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
−4 k
−5
18.1 Sinusfunctie
intro Eén rondgang in het reuzenrad duurt 30 minuten. Na 15 minuten ben je op
het hoogste punt van 135 meter. Het duurt 15 − 12 = 3 minuten voordat je
van 122 meter tot 135 meter bent geklommen. Vanwege de symmetrie ben je
drie minuten later weer gedaald tot 122 meter. Het duurt in totaal 3 + 3 = 6
minuten voordat je weer op een hoogte van 122 meter bent.
135
122
hoogte in m
O 12 15 18 30
tijd in min
1 a Het wiel is een cirkel met een straal van 1 meter. De omtrek van deze cirkel
is 2 · π · straal = 2 · π · 1 = 2π meter.
b Na π seconden heeft punt P de helft van de cirkel afgelegd. Het punt bevindt
zich dan aan de linkerkant op de hoogte van de as.
c Punt P bevindt zich (voor het eerst) in het laagste punt als het punt driekwart
van de cirkel heeft afgelegd. Dat is na 34 × 2π = 1 12 π ≈ 4,71 seconden.
d h
1,5
1
0,5
π 2π
O t
0,5
1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
−0,5
−1
−1,5
e De grafiek herhaalt zich met een periode van 2π seconden, dus punt P is
opnieuw in het hoogste punt na 12 π + 2π = 2 12 π ≈ 7,85 seconden.
© Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 18 Periodieke functies 7
,18 Periodieke functies
2 Invoer: y1 = sin(x)
Venster: 0 ≤ x ≤ 2π, −1 ≤ y ≤ 1
De grafieken zijn gelijk.
3 a Je ziet 3 perioden.
b (−2π, 0), (0, 0), (2π, 0) en (4π, 0)
c Op (bijvoorbeeld) het interval [ 12 π, π] is de grafiek van f toenemend dalend.
d Op (bijvoorbeeld) de intervallen [ 0, 12 π ] en [ 2π, 2 12 π ] is de grafiek van f
afnemend stijgend.
e ( −1 12 π, 1), ( − 12 π, −1), ( 12 π, 1), ( 1 12 π, −1), ( 2 12 π, 1) en ( 3 12 π, −1)
4 a De grafiek van f herhaalt zich met een periode van 2π.
Op de grafiek ligt het punt ( 12 π, 1). Eén periode naar rechts ligt het punt
( 2 12 π, 1) en twee perioden naar rechts ligt het punt ( 4 12 π, 1).
De punten ( 2 12 π, 1 ) en ( 4 12 π, 1 ) liggen dus op de grafiek van f.
De functie f heeft in die punten een maximum.
b ( 6 12 π, 1), ( 8 12 π, 1) en ( 10 12 π, 1)
c ( 1 12 π, −1), ( 3 12 π, −1) en ( 5 12 π, −1)
d (0, 0), (π, 0), (2π, 0) en (3π, 0)
e De grafiek van f snijdt de x-as in alle x-waarden die een veelvoud zijn van π,
dus in de punten …(0, 0), (π, 0), (2π, 0), (3π, 0) …
De grafiek van f zal de x-as dus ook snijden in (23π, 0).
5 a De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0) … en dus ook (7π, 0).
Het punt (7π, 1) ligt niet op de grafiek van f.
b De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0) … en dus ook (119π, 0).
Het punt (119π, 0) ligt wel op de grafiek van f.
1
( )
c Op de grafiek ligt het punt 1 2 π, −1 . Twee perioden naar rechts ligt het
( ) ( )
punt 5 12 π, −1 . Het punt 5 12 π, 1 ligt niet op de grafiek van f.
d De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0),(π, 0),(2π, 0) … en dus ook (−11π, 0).
Het punt (−11π, 0) ligt wel op de grafiek van f.
( 1
)
e Op de grafiek ligt het punt 1 2 π, −1 . Vijf perioden naar links ligt het punt
( −8 12 π, )
−1 . Het punt ( )
−8 12 π, −1 ligt wel op de grafiek van f.
f Op de grafiek ligt het punt ( 12 π, 1 ). 118 perioden naar rechts ligt het punt
( 236 12 π, 1). Het punt ( 236 12 π, 1) ligt wel op de grafiek van f.
8 Hoofdstuk 18 Periodieke functies © Noordhoff Uitgevers bv
, 6 a Invoer: y1 = sin(x) en y2 = 0,8
Venster: 0 ≤ x ≤ 2π, −1,5 ≤ y ≤ 1,5
Optie: snijpunt
Het eerste snijpunt is (0,93; 0,80), dus de coördinaten van punt A zijn
(0,93; 0,80).
1
b De grafiek van f is (lijn)symmetrisch in de verticale lijn door x = 2 π.
Daaruit volgt dat de horizontale afstand tussen x = 0 en punt A gelijk is aan
de horizontale afstand tussen punt B en x = π, zie de schets hieronder.
1
y 2
π
A B
π
O x
0,93 0,93
Dus de x-coördinaat van punt B is π − 0,93 ≈ 2,21.
c De grafiek van f is (punt)symmetrisch in het punt (π, 0).
Vanwege de symmetrie is de horizontale afstand tussen punt B en (π, 0)
gelijk aan de horizontale afstand tussen (π, 0) en punt C. Deze afstand is
π − 2,21 ≈ 0,93. De x-coördinaat van punt C is π + 0,93 ≈ 4,07.
De coördinaten van punt C zijn (4,07; −0,80).
Vanwege de symmetrie is de horizontale afstand tussen punt A en (π, 0)
gelijk is aan de horizontale afstand tussen (π, 0) en punt D. Deze afstand is
π − 0,93 ≈ 2,21. De x-coördinaat van punt D is π + 2,21 ≈ 5,35.
De coördinaten van punt D zijn (5,35; −0,80).
7 a Punt P bereikt (voor het eerst) de grootste hoogte na een kwart van de
periode, dus na 14 × 4 = 1 seconde. De periode is 4 seconden, dus punt P
bereikt de grootste hoogte ook na bijvoorbeeld 5 seconden en 9 seconden.
b h
1
0,5
O t
1 2 3 4 5 6 7 8
–0,5
–1
c Op tijdstip t = 1 is de hoogte van punt P ten opzichte van de as van de
windmolen gelijk aan 1 meter.
De hoogte van punt P (ten opzichte van de grond) is dan 1 + 3 = 4 meter.
d Op tijdstip t = 3 bevindt punt P zich 1 meter onder de as van de windmolen.
De hoogte van punt P (ten opzichte van de grond) is dan 3 − 1 = 2 meter.
e Op tijdstip t = 10 is punt P even hoog als op tijdstip t = 8, dus op dezelfde
hoogte als de as van de windmolen. De hoogte van punt P is dan 3 meter.
© Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 18 Periodieke functies 9
Voorkennis
V1 a Eén ademhaling duurt 5 seconden.
b Er zit minimaal 1 liter en maximaal 4 liter lucht in de longen.
c Er zit gemiddeld 2,5 liter lucht in de longen en de maximale afwijking ten
opzichte van dit gemiddelde is 1,5 liter.
V2 a Grafiek 1:
evenwichtsstand: (4 + −2) : 2 = 1
amplitude: 4 − 1 = 3
periode: 1 − −5 = 6
Grafiek 2:
evenwichtsstand: (1 + −4) : 2 = −1,5
amplitude: 1 − −1,5 = 2,5
periode: (5 − −3) × 2 = 8 × 2 = 16
b Grafiek 3 is niet periodiek, omdat de grafiek geen stukje heeft dat zichzelf
steeds herhaalt.
V3 y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V4 a Na 60 : 4 = 15 seconden is punt A voor het eerst op de hoogte van de as.
30 seconden later (dus 45 seconden na het begin) is punt A weer op de
hoogte van de as.
b Het hoogste punt bevindt zich 20 meter boven de as van het reuzenrad, dus
de straal van het rad is 20 meter.
c Punt A is na 80 seconden even hoog als na 20 seconden, dus 10 meter hoog.
d In de eerste minuut bevindt punt A zich na 10 seconden en na 50
seconden 10 meter onder de as. De grafiek herhaalt zich met een periode
van 60 seconden, dus punt A bevindt zich ook 10 meter onder de as na
bijvoorbeeld 70 seconden, 110 seconden en 130 seconden.
e Punt A legt in één minuut een cirkel af met een straal van 20 meter.
Dat is 2 · π · 20 ≈ 126 meter.
V5 a Bij x = 1 is de y-waarde bij f gelijk aan 0 en bij g gelijk aan −3. Je krijgt de
grafiek van g dus door de grafiek van f drie eenheden omlaag te schuiven.
Dus g (x) = f (x) − 3 = 3log(x) − 3.
b Bij iedere x-waarde is de y-waarde bij h twee keer zo groot als bij f.
Alle punten op de grafiek liggen twee keer zo ver van de x-as af.
c h(x) = 2 · f (x) = 2 · 2log(x)
6 Hoofdstuk 18 Periodieke functies © Noordhoff Uitgevers bv
, d j(x) = f (x) + 6 = 2log(x) + 6
e y
7
l
6 h
5
4
f
3
2
1
g
O x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
−4 k
−5
18.1 Sinusfunctie
intro Eén rondgang in het reuzenrad duurt 30 minuten. Na 15 minuten ben je op
het hoogste punt van 135 meter. Het duurt 15 − 12 = 3 minuten voordat je
van 122 meter tot 135 meter bent geklommen. Vanwege de symmetrie ben je
drie minuten later weer gedaald tot 122 meter. Het duurt in totaal 3 + 3 = 6
minuten voordat je weer op een hoogte van 122 meter bent.
135
122
hoogte in m
O 12 15 18 30
tijd in min
1 a Het wiel is een cirkel met een straal van 1 meter. De omtrek van deze cirkel
is 2 · π · straal = 2 · π · 1 = 2π meter.
b Na π seconden heeft punt P de helft van de cirkel afgelegd. Het punt bevindt
zich dan aan de linkerkant op de hoogte van de as.
c Punt P bevindt zich (voor het eerst) in het laagste punt als het punt driekwart
van de cirkel heeft afgelegd. Dat is na 34 × 2π = 1 12 π ≈ 4,71 seconden.
d h
1,5
1
0,5
π 2π
O t
0,5
1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
−0,5
−1
−1,5
e De grafiek herhaalt zich met een periode van 2π seconden, dus punt P is
opnieuw in het hoogste punt na 12 π + 2π = 2 12 π ≈ 7,85 seconden.
© Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 18 Periodieke functies 7
,18 Periodieke functies
2 Invoer: y1 = sin(x)
Venster: 0 ≤ x ≤ 2π, −1 ≤ y ≤ 1
De grafieken zijn gelijk.
3 a Je ziet 3 perioden.
b (−2π, 0), (0, 0), (2π, 0) en (4π, 0)
c Op (bijvoorbeeld) het interval [ 12 π, π] is de grafiek van f toenemend dalend.
d Op (bijvoorbeeld) de intervallen [ 0, 12 π ] en [ 2π, 2 12 π ] is de grafiek van f
afnemend stijgend.
e ( −1 12 π, 1), ( − 12 π, −1), ( 12 π, 1), ( 1 12 π, −1), ( 2 12 π, 1) en ( 3 12 π, −1)
4 a De grafiek van f herhaalt zich met een periode van 2π.
Op de grafiek ligt het punt ( 12 π, 1). Eén periode naar rechts ligt het punt
( 2 12 π, 1) en twee perioden naar rechts ligt het punt ( 4 12 π, 1).
De punten ( 2 12 π, 1 ) en ( 4 12 π, 1 ) liggen dus op de grafiek van f.
De functie f heeft in die punten een maximum.
b ( 6 12 π, 1), ( 8 12 π, 1) en ( 10 12 π, 1)
c ( 1 12 π, −1), ( 3 12 π, −1) en ( 5 12 π, −1)
d (0, 0), (π, 0), (2π, 0) en (3π, 0)
e De grafiek van f snijdt de x-as in alle x-waarden die een veelvoud zijn van π,
dus in de punten …(0, 0), (π, 0), (2π, 0), (3π, 0) …
De grafiek van f zal de x-as dus ook snijden in (23π, 0).
5 a De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0) … en dus ook (7π, 0).
Het punt (7π, 1) ligt niet op de grafiek van f.
b De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0), (π, 0), (2π, 0) … en dus ook (119π, 0).
Het punt (119π, 0) ligt wel op de grafiek van f.
1
( )
c Op de grafiek ligt het punt 1 2 π, −1 . Twee perioden naar rechts ligt het
( ) ( )
punt 5 12 π, −1 . Het punt 5 12 π, 1 ligt niet op de grafiek van f.
d De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn
…(−π, 0), (0, 0),(π, 0),(2π, 0) … en dus ook (−11π, 0).
Het punt (−11π, 0) ligt wel op de grafiek van f.
( 1
)
e Op de grafiek ligt het punt 1 2 π, −1 . Vijf perioden naar links ligt het punt
( −8 12 π, )
−1 . Het punt ( )
−8 12 π, −1 ligt wel op de grafiek van f.
f Op de grafiek ligt het punt ( 12 π, 1 ). 118 perioden naar rechts ligt het punt
( 236 12 π, 1). Het punt ( 236 12 π, 1) ligt wel op de grafiek van f.
8 Hoofdstuk 18 Periodieke functies © Noordhoff Uitgevers bv
, 6 a Invoer: y1 = sin(x) en y2 = 0,8
Venster: 0 ≤ x ≤ 2π, −1,5 ≤ y ≤ 1,5
Optie: snijpunt
Het eerste snijpunt is (0,93; 0,80), dus de coördinaten van punt A zijn
(0,93; 0,80).
1
b De grafiek van f is (lijn)symmetrisch in de verticale lijn door x = 2 π.
Daaruit volgt dat de horizontale afstand tussen x = 0 en punt A gelijk is aan
de horizontale afstand tussen punt B en x = π, zie de schets hieronder.
1
y 2
π
A B
π
O x
0,93 0,93
Dus de x-coördinaat van punt B is π − 0,93 ≈ 2,21.
c De grafiek van f is (punt)symmetrisch in het punt (π, 0).
Vanwege de symmetrie is de horizontale afstand tussen punt B en (π, 0)
gelijk aan de horizontale afstand tussen (π, 0) en punt C. Deze afstand is
π − 2,21 ≈ 0,93. De x-coördinaat van punt C is π + 0,93 ≈ 4,07.
De coördinaten van punt C zijn (4,07; −0,80).
Vanwege de symmetrie is de horizontale afstand tussen punt A en (π, 0)
gelijk is aan de horizontale afstand tussen (π, 0) en punt D. Deze afstand is
π − 0,93 ≈ 2,21. De x-coördinaat van punt D is π + 2,21 ≈ 5,35.
De coördinaten van punt D zijn (5,35; −0,80).
7 a Punt P bereikt (voor het eerst) de grootste hoogte na een kwart van de
periode, dus na 14 × 4 = 1 seconde. De periode is 4 seconden, dus punt P
bereikt de grootste hoogte ook na bijvoorbeeld 5 seconden en 9 seconden.
b h
1
0,5
O t
1 2 3 4 5 6 7 8
–0,5
–1
c Op tijdstip t = 1 is de hoogte van punt P ten opzichte van de as van de
windmolen gelijk aan 1 meter.
De hoogte van punt P (ten opzichte van de grond) is dan 1 + 3 = 4 meter.
d Op tijdstip t = 3 bevindt punt P zich 1 meter onder de as van de windmolen.
De hoogte van punt P (ten opzichte van de grond) is dan 3 − 1 = 2 meter.
e Op tijdstip t = 10 is punt P even hoog als op tijdstip t = 8, dus op dezelfde
hoogte als de as van de windmolen. De hoogte van punt P is dan 3 meter.
© Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk 18 Periodieke functies 9
