Categoriale uitkomsten/variabelen, 1 groep – Statistiek
Kansverdelingen
Continue kansverdeling
Er bestaan verschillende kansverdelingen voor continue uitkomsten (= continue kansverdelingen):
Normale verdeling.
Student’s t-verdeling.
F-verdeling.
Chi-kwadraat verdeling.
De chi-kwadraat verdeling is gelijk aan een aantal standaardnormale verdelingen in het kwadraat.
Het aantal uitkomsten van een continue kansverdeling is oneindig. De kans op een specifieke uitkomst is 0
(P (X=a) = 0).
Discrete kansverdeling
Er bestaan verschillende kansverdelingen voor discrete uitkomsten (= discrete kansverdelingen):
Binominale verdeling.
Het maximum van een binominale verdeling wordt bepaald door de steekproefgrootte (n). De
uitkomst van een binominale verdeling kan nooit groter zijn dan de steekproefomvang.
Poisson verdeling.
Het maximum van een poisson verdeling is oneindig.
De uitkomsten van een discrete kansverdeling zijn discrete waarden. De kans op een specifieke uitkomst is
niet gelijk aan 0 (P (X=a) ≠ 0).
Binominale verdeling
Bij een steekproefgrootte van n heeft ieder individu twee mogelijke uitkomsten A (succes) of B (geen
succes). Ieder individu heeft dezelfde kans () op uitkomst A (succes).
= De kans in de populatie.
P = De geschatte kans o.b.v. de data.
Berekenen van de geschatte kans (P)
Op basis van de binominale verdeling kan voor elke r, n en de geschatte kans (P) uitgerekend worden.
Wat is de kans op r (= aantal successen) in n (= steekproefgrootte)? Dit bereken je met onderstaande
formule:
n r r! = r * (r-1) *(r-2) * (r-3)…
P ( r )=( ) π ¿ 0! = 1.
r
n!
Voor de binomiaalcoëfficiënt (= het aantal mogelijkheden om r uit n te krijgen) geldt: (nr )= r ! ( n−r )!
.
VOORBEELD 1: Berekening van de geschatte kans.
Hoe groot is de kans op twee mannen en drie vrouwen in een willekeurige groep van 5 personen?
Gegeven:
= P (man) = 0,5 = P (succes).
1 - = P (vrouw) = 0,5 = P (geen succes).
1
, Berekening:
P ( 2 )=( 5) 0,52 ¿
2
VOORBEELD 2: Berekenen van geschatte kans voor meerdere successen.
Een succesvolle respons op acupunctuur bij patiënten met hoofdpijn is
46%. Een dokter behandelt vier patiënten. Wat is de kans op succes bij
ten hoogste één patiënt?
= 0,46; n = 4; r = 0 en r = 1.
Berekening:
4 0
P ( 0 )=( )0,46 ¿
0
4 1
P ( 1 )=( )0,46 ¿
1
Dus P(r ≤ 1)=0,085+0,290=0,375.
Vorm van een binominale verdeling
De binominale verdeling is linksscheef
bij een hoge .
De binominale verdeling is
symmetrisch bij =0,5.
De binominale verdeling is
rechtsscheef bij een lage .
Vergelijken van één kans
Er zijn verschillende methoden om één kans
te vergelijken:
95% betrouwbaarheidsinterval
berekenen.
Binominale toets.
Chi-kwadraat goodness-of-fit toets.
Binominale toets
De binominale toets wordt gebruikt wanneer er sprake is van 2 categorieën (= dichotoom) en één
steekproef/groep. Het doel van een binominale toets is het vergelijken van een proportie (P) t.o.v. een
veronderstelde kans in de populatie (0).
Toetsingsgrootheid
De toetsingsgrootheid r (= het aantal successen) volgt een binominale verdeling met de parameters n en
0 .
H0 en H1
De volgende hypotheses kunnen worden opgesteld:
Eenzijdige toets.
Hoger: H0: ≤ 0 en H1: > 0.
Lager: H0: ≥ 0 en H1: < 0.
2
Kansverdelingen
Continue kansverdeling
Er bestaan verschillende kansverdelingen voor continue uitkomsten (= continue kansverdelingen):
Normale verdeling.
Student’s t-verdeling.
F-verdeling.
Chi-kwadraat verdeling.
De chi-kwadraat verdeling is gelijk aan een aantal standaardnormale verdelingen in het kwadraat.
Het aantal uitkomsten van een continue kansverdeling is oneindig. De kans op een specifieke uitkomst is 0
(P (X=a) = 0).
Discrete kansverdeling
Er bestaan verschillende kansverdelingen voor discrete uitkomsten (= discrete kansverdelingen):
Binominale verdeling.
Het maximum van een binominale verdeling wordt bepaald door de steekproefgrootte (n). De
uitkomst van een binominale verdeling kan nooit groter zijn dan de steekproefomvang.
Poisson verdeling.
Het maximum van een poisson verdeling is oneindig.
De uitkomsten van een discrete kansverdeling zijn discrete waarden. De kans op een specifieke uitkomst is
niet gelijk aan 0 (P (X=a) ≠ 0).
Binominale verdeling
Bij een steekproefgrootte van n heeft ieder individu twee mogelijke uitkomsten A (succes) of B (geen
succes). Ieder individu heeft dezelfde kans () op uitkomst A (succes).
= De kans in de populatie.
P = De geschatte kans o.b.v. de data.
Berekenen van de geschatte kans (P)
Op basis van de binominale verdeling kan voor elke r, n en de geschatte kans (P) uitgerekend worden.
Wat is de kans op r (= aantal successen) in n (= steekproefgrootte)? Dit bereken je met onderstaande
formule:
n r r! = r * (r-1) *(r-2) * (r-3)…
P ( r )=( ) π ¿ 0! = 1.
r
n!
Voor de binomiaalcoëfficiënt (= het aantal mogelijkheden om r uit n te krijgen) geldt: (nr )= r ! ( n−r )!
.
VOORBEELD 1: Berekening van de geschatte kans.
Hoe groot is de kans op twee mannen en drie vrouwen in een willekeurige groep van 5 personen?
Gegeven:
= P (man) = 0,5 = P (succes).
1 - = P (vrouw) = 0,5 = P (geen succes).
1
, Berekening:
P ( 2 )=( 5) 0,52 ¿
2
VOORBEELD 2: Berekenen van geschatte kans voor meerdere successen.
Een succesvolle respons op acupunctuur bij patiënten met hoofdpijn is
46%. Een dokter behandelt vier patiënten. Wat is de kans op succes bij
ten hoogste één patiënt?
= 0,46; n = 4; r = 0 en r = 1.
Berekening:
4 0
P ( 0 )=( )0,46 ¿
0
4 1
P ( 1 )=( )0,46 ¿
1
Dus P(r ≤ 1)=0,085+0,290=0,375.
Vorm van een binominale verdeling
De binominale verdeling is linksscheef
bij een hoge .
De binominale verdeling is
symmetrisch bij =0,5.
De binominale verdeling is
rechtsscheef bij een lage .
Vergelijken van één kans
Er zijn verschillende methoden om één kans
te vergelijken:
95% betrouwbaarheidsinterval
berekenen.
Binominale toets.
Chi-kwadraat goodness-of-fit toets.
Binominale toets
De binominale toets wordt gebruikt wanneer er sprake is van 2 categorieën (= dichotoom) en één
steekproef/groep. Het doel van een binominale toets is het vergelijken van een proportie (P) t.o.v. een
veronderstelde kans in de populatie (0).
Toetsingsgrootheid
De toetsingsgrootheid r (= het aantal successen) volgt een binominale verdeling met de parameters n en
0 .
H0 en H1
De volgende hypotheses kunnen worden opgesteld:
Eenzijdige toets.
Hoger: H0: ≤ 0 en H1: > 0.
Lager: H0: ≥ 0 en H1: < 0.
2
