Matemática Básica - MA420
Clase integral EB
2020-00
Indicaciones generales a tener en cuenta para la EB
➢ Llegue a su aula puntual, recuerde que la tolerancia máxima para rendir la evaluación es de 15 minutos, no hay
excepciones al respecto.
➢ Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado (o en modo silencio)
y guardado en su mochila durante la evaluación.
➢ Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por
ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades.
➢ Solo podrá hacer uso de calculadoras científicas, estas NO podrán ser programables ni graficadoras.
➢ Si por algún motivo durante la evaluación usted abandona el aula, en ese momento su evaluación se da por concluida.
CONCEPTO
1. Indique el valor de verdad (verdadero o falso) de las siguientes proposiciones justificando su respuesta:
a. El vector 𝐰 = 〈−1; 1〉 es unitario.
b. Los vectores 𝒖 = 〈3; −4〉 𝑦 𝒗 = 8𝒊 + 6𝒋 son ortogonales.
c. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 3) entonces se puede afirmar que la
función es negativa en ]3; 4[.
d. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = −2cos(𝑥) entonces se puede afirmar que la
función es decreciente en el intervalo [𝜋 ; 2𝜋].
e. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = log 3 (𝑥 + 1) + 2, entonces se puede afirmar
que la función es positiva en ]−∞; −1[.
f. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = log 9 (8 − 4𝑥) entonces se puede afirmar que el
dominio de la función es ]−∞; 2[.
CÁLCULO
2. Dado los vectores 𝐚 = 〈−1; 2〉, 𝐛 = 〈6; 3〉 y 𝐜 = −3𝐢 − 𝐣, determine:
a. La magnitud del vector 𝐦 = 𝐚 − 2𝐜.
b. La dirección del vector 𝐚.
c. La dirección del vector 𝐫 = 𝐚 + 𝐛.
d. ¿Los vectores 𝒄 y 𝐛 son ortogonales?
3. Dado los vectores 𝐮 = 〈16; 2〉, 𝐯 = 〈−1; 8〉 y 𝐰 = −5𝐢 − 𝐣, y los puntos A(−10; 2) y B(−4; 6).
Determine:
a. El módulo del vector 𝐦 = −𝐰 + 𝐯.
b. ¿El vector 𝐰 es unitario?
c. ¿Los vectores 𝐮 y 𝑨𝑩 son ortogonales?
4. Determine el conjunto de solución de las siguientes ecuaciones:
𝜋 3 3𝜋
a. √2sen 𝑥 + 1 = 0 ; 𝑥 ∈ [− ; 2𝜋] d. √3 cos(𝑥) − = 0 ; 𝑥 ∈ [0; ]
2 2 2
b. 4cos 𝑥 + 1 = 0 e. 2sen(2𝑥) − 1 = 0
c. 5sen 𝑥 − 1 = 0 f. cos(3𝑥) + 0.5 = 0
Nota: Encuentre las soluciones utilizando el método gráfico.
GRAFICACIÓN
5. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = −log 2 (𝑥 + 3) + 2. Trace su gráfica y determine
analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados en su
gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
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, 6. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = 𝑒 1−𝑥 − 2. Trace su gráfica y determine
analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados en su
gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
7. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 2) − 1. Trace su gráfica y determine
analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados en su
gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
3𝑥−2 + 1 , si 𝑥 < 2
8. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = { . Trace su gráfica y
−1 +log 2 (𝑥 − 2), si 𝑥 > 2
determine analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados
en su gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
9. Dadas las siguientes funciones:
𝜋 𝜋
a. ℎ(𝑥) = 3sen (𝑥 + ) − 1 c. 𝑔(𝑥) = −2cos (𝑥 − ) + 3
4 5
𝑥 𝜋
b. 𝑓(𝑥) = −2sen(3𝑥 − 𝜋) + 2 d. 𝑟(𝑥) = 3cos ( + ) − 2
2 4
En cada una de ellas, determine su dominio, amplitud, periodo, traslación horizontal (desfase), traslación
vertical, rango y trace la gráfica en su periodo principal.
PROBLEMAS DE MODELACIÓN
10. Starbucks determinó que la temperatura de su café expreso se enfría mediante la función de enfriamiento
de Newton: 𝑇(𝑡) = 63 + 135 𝑒 −0,0629𝑡 con 𝑡 ≥ 0. Donde: 𝑇(𝑡) es la temperatura del café en grados
Fahrenheit (°F) después de 𝑡 minutos.
a. ¿Cuál es la temperatura inicial del café expreso?
b. Determine en cuánto tiempo la temperatura del café será 140°F.
c. Trace la gráfica de 𝑇, escriba la ecuación de la asíntota y diga qué representa a largo plazo.
11. Una población de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento 𝑁(𝑡) = 0,375𝑒 0,69315𝑡 con 𝑡 ≥ 0,
donde 𝑁(𝑡) determina el número de bacterias en miles después de “𝑡” años. Calcule, en cuántos años la
población de bacterias llegará a 4 mil bacterias.
12. Una paracaidista salta desde un avión. Se puede demostrar
que la velocidad hacia abajo de la paracaidista en el tiempo 𝑡
está dado por la función:
𝑣(𝑡) = 180(1 − 𝑒 −0,2𝑡 ),
donde 𝑡 se mide en segundos (s) y la velocidad 𝑣(𝑡) se mide
en pies por segundos (pies/s).
a. ¿Cuál es la velocidad hacia abajo del paracaidista a los cinco segundos después de haber saltado del
avión?
b. ¿En que instante tiempo la velocidad hacia abajo de la paracaidista es de 55 pies/s?
13. En cierto cultivo, inicialmente había 250 bacterias, dichas bacterias se triplican cada día.
a. Cuántos días han transcurrido desde que se inició el cultivo, si ahora hay 20250 bacterias.
b. ¿Cuántas bacterias habrán luego de una semana?
Nota: utilice el modelo 𝑛(𝑡) = 𝑛𝑜 (3𝑡 ), donde 𝑡 se miden en días, 𝑛𝑜 es la población inicial y 𝑛(𝑡) es
la población en un tiempo 𝑡.
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Clase integral EB
2020-00
Indicaciones generales a tener en cuenta para la EB
➢ Llegue a su aula puntual, recuerde que la tolerancia máxima para rendir la evaluación es de 15 minutos, no hay
excepciones al respecto.
➢ Todo dispositivo electrónico (teléfono, tableta, computadora u otro) deberá permanecer apagado (o en modo silencio)
y guardado en su mochila durante la evaluación.
➢ Coloque todo aquello que no sean útiles de uso autorizado durante la evaluación en la parte delantera del aula, por
ejemplo, mochila, maletín, cartera o similar, y procure que contenga todas sus propiedades.
➢ Solo podrá hacer uso de calculadoras científicas, estas NO podrán ser programables ni graficadoras.
➢ Si por algún motivo durante la evaluación usted abandona el aula, en ese momento su evaluación se da por concluida.
CONCEPTO
1. Indique el valor de verdad (verdadero o falso) de las siguientes proposiciones justificando su respuesta:
a. El vector 𝐰 = 〈−1; 1〉 es unitario.
b. Los vectores 𝒖 = 〈3; −4〉 𝑦 𝒗 = 8𝒊 + 6𝒋 son ortogonales.
c. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 3) entonces se puede afirmar que la
función es negativa en ]3; 4[.
d. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = −2cos(𝑥) entonces se puede afirmar que la
función es decreciente en el intervalo [𝜋 ; 2𝜋].
e. Dada la función 𝑓 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = log 3 (𝑥 + 1) + 2, entonces se puede afirmar
que la función es positiva en ]−∞; −1[.
f. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = log 9 (8 − 4𝑥) entonces se puede afirmar que el
dominio de la función es ]−∞; 2[.
CÁLCULO
2. Dado los vectores 𝐚 = 〈−1; 2〉, 𝐛 = 〈6; 3〉 y 𝐜 = −3𝐢 − 𝐣, determine:
a. La magnitud del vector 𝐦 = 𝐚 − 2𝐜.
b. La dirección del vector 𝐚.
c. La dirección del vector 𝐫 = 𝐚 + 𝐛.
d. ¿Los vectores 𝒄 y 𝐛 son ortogonales?
3. Dado los vectores 𝐮 = 〈16; 2〉, 𝐯 = 〈−1; 8〉 y 𝐰 = −5𝐢 − 𝐣, y los puntos A(−10; 2) y B(−4; 6).
Determine:
a. El módulo del vector 𝐦 = −𝐰 + 𝐯.
b. ¿El vector 𝐰 es unitario?
c. ¿Los vectores 𝐮 y 𝑨𝑩 son ortogonales?
4. Determine el conjunto de solución de las siguientes ecuaciones:
𝜋 3 3𝜋
a. √2sen 𝑥 + 1 = 0 ; 𝑥 ∈ [− ; 2𝜋] d. √3 cos(𝑥) − = 0 ; 𝑥 ∈ [0; ]
2 2 2
b. 4cos 𝑥 + 1 = 0 e. 2sen(2𝑥) − 1 = 0
c. 5sen 𝑥 − 1 = 0 f. cos(3𝑥) + 0.5 = 0
Nota: Encuentre las soluciones utilizando el método gráfico.
GRAFICACIÓN
5. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = −log 2 (𝑥 + 3) + 2. Trace su gráfica y determine
analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados en su
gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
MA420 1
, 6. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = 𝑒 1−𝑥 − 2. Trace su gráfica y determine
analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados en su
gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
7. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 2) − 1. Trace su gráfica y determine
analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados en su
gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
3𝑥−2 + 1 , si 𝑥 < 2
8. Dada la función 𝑔 con regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = { . Trace su gráfica y
−1 +log 2 (𝑥 − 2), si 𝑥 > 2
determine analíticamente los puntos de corte con los ejes coordenados e indíquelos como pares ordenados
en su gráfica. Además, escriba la ecuación de la asíntota, indicando si esta es vertical u horizontal.
Nota: La gráfica se considera correcta, si pasa por lo menos por tres puntos de referencia.
9. Dadas las siguientes funciones:
𝜋 𝜋
a. ℎ(𝑥) = 3sen (𝑥 + ) − 1 c. 𝑔(𝑥) = −2cos (𝑥 − ) + 3
4 5
𝑥 𝜋
b. 𝑓(𝑥) = −2sen(3𝑥 − 𝜋) + 2 d. 𝑟(𝑥) = 3cos ( + ) − 2
2 4
En cada una de ellas, determine su dominio, amplitud, periodo, traslación horizontal (desfase), traslación
vertical, rango y trace la gráfica en su periodo principal.
PROBLEMAS DE MODELACIÓN
10. Starbucks determinó que la temperatura de su café expreso se enfría mediante la función de enfriamiento
de Newton: 𝑇(𝑡) = 63 + 135 𝑒 −0,0629𝑡 con 𝑡 ≥ 0. Donde: 𝑇(𝑡) es la temperatura del café en grados
Fahrenheit (°F) después de 𝑡 minutos.
a. ¿Cuál es la temperatura inicial del café expreso?
b. Determine en cuánto tiempo la temperatura del café será 140°F.
c. Trace la gráfica de 𝑇, escriba la ecuación de la asíntota y diga qué representa a largo plazo.
11. Una población de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento 𝑁(𝑡) = 0,375𝑒 0,69315𝑡 con 𝑡 ≥ 0,
donde 𝑁(𝑡) determina el número de bacterias en miles después de “𝑡” años. Calcule, en cuántos años la
población de bacterias llegará a 4 mil bacterias.
12. Una paracaidista salta desde un avión. Se puede demostrar
que la velocidad hacia abajo de la paracaidista en el tiempo 𝑡
está dado por la función:
𝑣(𝑡) = 180(1 − 𝑒 −0,2𝑡 ),
donde 𝑡 se mide en segundos (s) y la velocidad 𝑣(𝑡) se mide
en pies por segundos (pies/s).
a. ¿Cuál es la velocidad hacia abajo del paracaidista a los cinco segundos después de haber saltado del
avión?
b. ¿En que instante tiempo la velocidad hacia abajo de la paracaidista es de 55 pies/s?
13. En cierto cultivo, inicialmente había 250 bacterias, dichas bacterias se triplican cada día.
a. Cuántos días han transcurrido desde que se inició el cultivo, si ahora hay 20250 bacterias.
b. ¿Cuántas bacterias habrán luego de una semana?
Nota: utilice el modelo 𝑛(𝑡) = 𝑛𝑜 (3𝑡 ), donde 𝑡 se miden en días, 𝑛𝑜 es la población inicial y 𝑛(𝑡) es
la población en un tiempo 𝑡.
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