Solutions Manual for An Overview of General Relativity and Space-Time (Series in Astronomy and Astrophysics) 1st Edition By Nicola Vittorio (All Chapters, 100 Original Verified, A+ Grade) 3

GENERAL RELATIVITYAN
b b




D

COSMOLOGY


Lecturebnotes


Poulb Olesen




Theb Nielsb Bohrb InstitutebBle
gdamsvejb bb
DKbbbbbbbbbb CopenhagenbDenm
ark


Autumnb bbbb

, Preface


Thebfollowingblecturebnotesbonbgeneralbrelativitybandbcosmologybgrewboutbofbabonebseme
sterbcoursebonbthesebtopicsbandbclassicalbgaugebtheorybbybJanbAmbjb rnbandbthebpresentbauthor
bbbSubsequentlybsemestersbwerebabandonedbandbreplacedbbybbBlocks bbbbwhichbhavebanb extens

ionb ofb approximatelyb onlyb twob monthsbb Thereforeb theb classicalbb eldb theoryb part
bwhichb anyhowb stronglyb neededb ab revisionbb wasb droppedbb andb theb generalb relativityb and

cosmologyb chaptersb wereb revisedb
Theseblecturebnotesbarebintroductorybandbdobnotbinbanybwaybpretendbtobbebcomprehenbsiv
ebbbSeveralbimportantbtopicsbhavebbbeenbbleftboutbbbForbexamplebbgravitationalbradiationbisbnot
bdiscussedbatballbTherebarebtwobreasons bbforbthebbbrevitybbofbthebbnotes bbtheballotedbtimebwasbsh

ortbabcouplebofbmonthsbbfourbhoursbabweekbbandbitbwasbhopedbthatbbybmakingbthebnotesbequall
ybshortbtherebisbabbiggerbchancebofbgettingbthroughbthatbgeneralbrelativitybandbcosmologybar
ebexcitingbsubjectsbSometimesbthebtroublebwithbexposingbthebbeautybofbphysicsbisbthatbonebha
sbtobwalkbabverybblongbwaybsobpeoplebstartbtobfeelbthatbtheybratherbwalkbinbabdesertbthanbinbabb
eautifulbgardenbStudentsbhungrybforbmorebcomprehensivebstudiesb areb referredb tob theb enor
mousb literatureb




PoulbOlesen




Dennebbogb/bforelæsningsnotebudvalgtbafbMartinbSkogstad-vonbQualen,
ogb erb enb delb afb etb projektb derb harb tilb formålb atb gøreb tekster,bforfattetbafbda
nskebfysikere,btilgængeligebforboffentligheden.bTeksterne,bder
hovedsageligtb skrevetb ib 90erne,b blevb anskaffetb ib såb fineb udgaverb sombmuligt,
bhvorefterbdebblevbskannetbpåbenbfotokopimaskinebibenbopløsning

påb600bdpib (S/H)bibtiffbformat.bDebskannedebbillederbdannede
såb udgangspunktb forb enb pdf-
fil,b hvorpåb derb blevb udførtbelektroniskbtekstgenkendelseb(OCR).
Bookmarksb ogb linksb blevb herefterb tilføjetb forb atb lettebnavigation
enb ib dokumenterne.b Denneb tekstb varb tilgængeligeb ibdigitalbform,bså
ledesbatbkunbbookmarksberbtilføjet.
Projektetbblevbstartetbibnovemberb2018bogbomkringbjunib2019
varballebbøgerb/bnoterbklarbtilbatbbliveblagtbopbpåbwww.nbi.ku.dk.

Skulleb nogenb haveb spørgsmålb tilb projektetb kanb Martinbkontaktesbpåb


Enb storb takb tilb professorb emeritusb Henrikb Smithb somb ogsåb erbforfatterbtilb
flerebafbbøgerne,bogbtilblektorbibfysikbvedbNBIbJensbPaaskebforbsamarbejde,
bopmuntring,bvalgbafbmaterialebogblånbafbfinebeksemplarerbafbværkerne.

,Contents


b Generalb relativity b

bbb Thebprinciplebofbequivalencebbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b

bbb Gravitationb andb geometrybbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b

bbb Motionb inb anb arbitraryb gravitationalbb eldbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b

bbb ThebNewtonb limitbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b

bbb Theb principleb ofb generalb covariance b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

bbb Contravariantbandbcovariantbtensors b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

bbb Diberentiationb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbb Abpropertybofbthebdeterminantbofbg bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbb Somebspecialbderivatives bbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb
bbbbbbSomeb applications b tob physicsbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbCurvaturebbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbParallelbtransportb andb curvaturebbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbProperties b ofb theb curvatureb tensorbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb


bbbbbbTheb energyb momentumb tensorbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbEinsteinb sbb eldb equations b forb gravitation bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbTheb timeb dependent b sphericallyb symmetricb metricbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbAb digressionb Ab simpler b methodb forb computingb b b
b

bbbbbbTheb Christob elb symbols b forb theb timeb dependent b sphericallyb symmetricb metricbbbb
b


bbbbbbTheb Riccib tensor bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbTheb Schwarzschild b solutionb bbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbBirkhobb sb theorem bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTheb generalb relativisticbKeplerb problem b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbDeb ectionb ofb lightb byb ab massiveb bodybbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbBlackbholes bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb


bbbbbbKruskalbcoordinatesb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbPainlevb eb sb versionb ofb theb Schwarzschildb metricbbb bbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTidalb forcesb andb theb Riemannb tensor bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTheb Tidalb forceb fromb theb Schwarzschildb solutionbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTheb energyb momentumb tensorb forb electromagnetismbb bbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTheb Reissnerb Nordstromb solution bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTheb sphericallyb symmetricb solutionb inbbbbbbbbbdimensionsbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbCosmicbstringsbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb




b Cosmology bb

bbb Thebcosmologicalbproblembbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbb Thebcosmologicalbstandardb modelbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb



b

, b CONTENTS

bbb Ab geometricb interpretationb ofb theb Robertsonb Walkerb metricbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbb Hubblebsblawbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbb Higherb orderb correctionb tob Hubbleb sb lawb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbb Einsteinbsb equationsb andb theb Robertsonb Walkerb metricb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbb Theb Bigb Bangbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbb Existenceb ofb theb bigb bangb theb initialb singularityb b b b b b b b b b b bb

bbbbb Theb ageb ofb theb Universeb accordingb tob Bigb Bangbb b b b b b b b b b b b bb

bbbbb Discussionbofbthebfateb ofb theb Universebb bbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b bb

bbb Fittingbparametersb tob observations bbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbb Thebcosmicbmicrowavebradiationbbackgroundbb b b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbTheb matterb dominatedb erabb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbbb ThebclosedbUniverseb b b bbb b bbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b b b bb

bbbbbbbb Thebb atb Universeb b b bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b
b b b bb

bbbbbbbb Theb openb universeb b b bbbbbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbb b b b b b b b b b b b b b b
b b b bb

bbbbbbbb Inclusionbofbthebcosmologicalbconstantb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbbb Discussionb ofb theb lifeb timeb ofb theb Universe bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbCausalityb structureb ofb theb bigb bangbb Theb horizonb problembbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbInb ationbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbObservationalbevidencebforbthebcosmologicalbconstant bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbTheb endb ofb cosmologybbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb

bbbbbbAnb inhomogeneousb universeb withoutb bbb bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb bb




b Problems bb




b Someb constants bbb




b Someb literature bbb