Module 2: Getallenverzamelingen
Uitgebreide leeruitlegversie
Inleiding
In deze module bestuderen we de verschillende soorten getallen die in de wiskunde worden
gebruikt. We bouwen stap voor stap van de natuurlijke getallen tot de reële ruimte Rn .
Bij elke getallenverzameling onderzoeken we:
• de algebraı̈sche structuur (hoe we kunnen optellen en vermenigvuldigen),
• de orde-eigenschappen (hoe we getallen kunnen vergelijken),
• en later ook de Euclidische en topologische structuur (afstand, open verzamelin-
gen, enz.).
§1 De getallenverzamelingen N, Z en Q
N⊂Z⊂Q⊂R
Elke stap breidt de vorige verzameling uit, om meer berekeningen mogelijk te maken.
De natuurlijke getallen N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Deze getallen gebruiken we om te tellen. Soms gebruiken we N0 = N \ {0} om nul uit te
sluiten.
Lees in woorden: “de verzameling van alle natuurlijke getallen, beginnend bij nul.”
Beperkingen van N In N kunnen we wel optellen, maar niet altijd aftrekken of delen.
Bijvoorbeeld, x + 5 = 0 heeft geen oplossing in N. Daarom breiden we uit naar Z.
Faculteit (n!)
n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1, 0! = 1
Lees: “n-faculteit is het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk
aan n.” Het stelt het aantal mogelijke ordeningen van n objecten voor.
De gehele getallen Z
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
We voegen nu negatieve getallen toe, zodat we vergelijkingen als x + 5 = 0 kunnen
oplossen. Maar vergelijkingen als 2x = 1 blijven onmogelijk.
, De rationale getallen Q
nn o
Q= n ∈ Z, m ∈ Z \ {0}
m
Lees: “de verzameling van alle breuken met een geheel getal als teller en een niet-nul
geheel getal als noemer.”
Belangrijke eigenschappen
n p
= ⇔ nq = mp
m q
n p nq + pm
+ =
m q mq
n p np
· =
m q mq
Leeswijzen:
• De som van twee breuken: “noemers gelijkmaken, tellers optellen.”
• De vermenigvuldiging: “teller met teller, noemer met noemer.”
Algebraı̈sche structuur van Q In Q kunnen we optellen, aftrekken, vermenigvuldigen
en delen (behalve door nul). Daarom noemen we (Q, +, ·, ≤) een geordend veld.
Formele eigenschappen van een veld
Een veld is een verzameling met twee bewerkingen (+ en ·) die voldoen aan de volgende
regels:
• Associativiteit: (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).
• Commutativiteit: x + y = y + x, xy = yx.
• Neutrale elementen: 0 voor + en 1 voor ·.
• Inversen: elk getal heeft een tegengestelde en, behalve 0, ook een omgekeerde.
• Distributiviteit: x(y + z) = xy + xz.
Orde-eigenschappen
x≤y ⇒x+z ≤y+z
x ≤ y, z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz
Lees: “Als je aan beide kanten van een ongelijkheid hetzelfde toevoegt of met een
positief getal vermenigvuldigt, blijft de volgorde behouden.”
Dichtheid van Q Tussen twee rationale getallen x < y ligt altijd een ander rationaal
getal z met x < z < y. Dat betekent
√ dat Q geen gaten heeft, maar ook niet volledig is
— want er zijn getallen zoals 2 die niet in Q liggen.
Uitgebreide leeruitlegversie
Inleiding
In deze module bestuderen we de verschillende soorten getallen die in de wiskunde worden
gebruikt. We bouwen stap voor stap van de natuurlijke getallen tot de reële ruimte Rn .
Bij elke getallenverzameling onderzoeken we:
• de algebraı̈sche structuur (hoe we kunnen optellen en vermenigvuldigen),
• de orde-eigenschappen (hoe we getallen kunnen vergelijken),
• en later ook de Euclidische en topologische structuur (afstand, open verzamelin-
gen, enz.).
§1 De getallenverzamelingen N, Z en Q
N⊂Z⊂Q⊂R
Elke stap breidt de vorige verzameling uit, om meer berekeningen mogelijk te maken.
De natuurlijke getallen N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Deze getallen gebruiken we om te tellen. Soms gebruiken we N0 = N \ {0} om nul uit te
sluiten.
Lees in woorden: “de verzameling van alle natuurlijke getallen, beginnend bij nul.”
Beperkingen van N In N kunnen we wel optellen, maar niet altijd aftrekken of delen.
Bijvoorbeeld, x + 5 = 0 heeft geen oplossing in N. Daarom breiden we uit naar Z.
Faculteit (n!)
n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1, 0! = 1
Lees: “n-faculteit is het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk
aan n.” Het stelt het aantal mogelijke ordeningen van n objecten voor.
De gehele getallen Z
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . }
We voegen nu negatieve getallen toe, zodat we vergelijkingen als x + 5 = 0 kunnen
oplossen. Maar vergelijkingen als 2x = 1 blijven onmogelijk.
, De rationale getallen Q
nn o
Q= n ∈ Z, m ∈ Z \ {0}
m
Lees: “de verzameling van alle breuken met een geheel getal als teller en een niet-nul
geheel getal als noemer.”
Belangrijke eigenschappen
n p
= ⇔ nq = mp
m q
n p nq + pm
+ =
m q mq
n p np
· =
m q mq
Leeswijzen:
• De som van twee breuken: “noemers gelijkmaken, tellers optellen.”
• De vermenigvuldiging: “teller met teller, noemer met noemer.”
Algebraı̈sche structuur van Q In Q kunnen we optellen, aftrekken, vermenigvuldigen
en delen (behalve door nul). Daarom noemen we (Q, +, ·, ≤) een geordend veld.
Formele eigenschappen van een veld
Een veld is een verzameling met twee bewerkingen (+ en ·) die voldoen aan de volgende
regels:
• Associativiteit: (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).
• Commutativiteit: x + y = y + x, xy = yx.
• Neutrale elementen: 0 voor + en 1 voor ·.
• Inversen: elk getal heeft een tegengestelde en, behalve 0, ook een omgekeerde.
• Distributiviteit: x(y + z) = xy + xz.
Orde-eigenschappen
x≤y ⇒x+z ≤y+z
x ≤ y, z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz
Lees: “Als je aan beide kanten van een ongelijkheid hetzelfde toevoegt of met een
positief getal vermenigvuldigt, blijft de volgorde behouden.”
Dichtheid van Q Tussen twee rationale getallen x < y ligt altijd een ander rationaal
getal z met x < z < y. Dat betekent
√ dat Q geen gaten heeft, maar ook niet volledig is
— want er zijn getallen zoals 2 die niet in Q liggen.
