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C HAPITRE 2

L ES D ÉVELOPPEMENTS LIMITÉS




Sommaire
2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Développement limité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Importance des développements limités à l’origine . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Opérations sur les Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.1 Somme des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.2 Produit des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.3 Quotient des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.4 Composition des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.5 Primitivation des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.6 Dérivation des DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Application des Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.1 Calculer des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.2 Position de la courbe par rapport à une tangente . . . . . . . . . . . . 11




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, CHAPITRE 2. LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
SECTION 2.1. RAPPELS


Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle ouvert non vide de R, x0 un point de I et
f, g : I → R deux fonctions.


2.1 ) Rappels

Définition 2.1.1. On dit que f est :

• de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I, et f 0 est continue sur I.

• de classe C 2 sur I si f et f 0 sont dérivables sur I, et f 00 est continue sur I.

• de classe C k sur I si toutes les dérivées de f jusqu’à l’ordre k existent sur I, et si f (k) est
continu sur I.

• de classe C ∞ sur I si f est C k sur I pour tout k. Autrement dit, si f est indéfiniment
dérivable sur I.

La plupart des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques,...)
sont C ∞ sur leur domaine de définition.

Définition 2.1.2. On suppose que g ne s’annule pas sur un voisinage de x0 . On dit que

• f est un grand O de g au voisinage du point x0 ssi
f (x)
est borné au voisinage de x0 privé de x0 ,
g(x)
et on note f (x) = O(g(x)).

• f est négligeable devant la fonction g ( f est un petit o de g) au voisinage du point x0 ssi
f (x)
−→ 0,
g(x) x→x0


et on note f (x) = o(g(x)).

• f et g sont équivalentes au voisinage du point x0 ssi
f (x)
−→ 1,
g(x) x→x0


et on note f (x) ∼ g(x).
x→x0

Exemple.

1) Soit (p, q) ∈ N2 . On a : xp = o(xq ) au voisinage de 0 ⇔ p > q.

2) Si f (x) = 3x5 − x4 + x2 alors f (x) = o(x) au voisinage de 0.




2 ESSTHS