VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ............................................ 3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen ............................................................................................................... 3
1.1.2 Absoluut en relatief .................................................................................................................................. 3
1.2.2 weetjes ..................................................................................................................................................... 4
Hoofdstuk 2 Verhoudingen .............................................................................................................................. 8
2.1 Verhoudingen zijn overal ............................................................................................................................. 8
2.1.2 Niet-evenredige verbanden.................................................................................................................... 10
2.1.3 Bijzondere verhoudingen ....................................................................................................................... 12
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen ...................................................................................................... 18
2.2.2 Modellen bij verhoudingen .................................................................................................................... 19
2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen ............................................................................................ 21
2.2.4 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 24
Hoofdstuk 3 Procenten .................................................................................................................................. 29
3.1.2 Een gestandaardiseerde verhouding ...................................................................................................... 29
3.1.3 Wiskundetaal bij procenten ................................................................................................................... 30
3.2.2 Introductie van procenten...................................................................................................................... 31
3.2.3 Modellen bij procenten .......................................................................................................................... 32
3.2.4 Rekenen en redeneren met procenten .................................................................................................. 33
3.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 39
Hoofdstuk 4 Breuken ..................................................................................................................................... 40
4.1.1 Verschijningsvormen .............................................................................................................................. 40
4.1.2 Wiskundetaal bij breuken....................................................................................................................... 41
4.2.2 Introductie van breuken ......................................................................................................................... 41
4.2.3 Modellen bij breuken ............................................................................................................................. 46
4.2.4 Rekenen en redeneren met breuken ..................................................................................................... 48
4.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 55
Hoofdstuk 5 Kommagetallen .......................................................................................................................... 55
5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen ........................................................................................................... 55
5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallen ............................................................................................. 59
5.2.4 Rekenen en redeneren met kommagetallen .......................................................................................... 60
1
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
Hoofdstuk 6 LEren en onderwijzen van reken-wiskunde ................................................................................ 67
Driehoekopgave .............................................................................................................................................. 67
2
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
HOOFDSTUK 1 SAMENHANG VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN
KOMMAGETALLEN
1.1.1 OVEREENKOMSTEN EN VERSCHILLEN
MAXIMUMSNELHEID
Via een verhoudingstabel:
200 2
meters 80 km = 80 000 m 80 000 800 200 = 22
9 9
seconden 1 u = 3 600 s 3 600 36 9 1
2
Dus 80 km/u = 22 m/s.
9
Je kunt gebruik maken van de regel: van km/u naar m/s komt neer op delen door 3,6. De uitwerking wordt dan:
80 : 3,6 ≈ 22,2 ongeveer.
DE WIJZERS VAN DE KLOK
1
a De grote wijzer maak één omwenteling per uur, dat is (≈ 0,0167) omwenteling of toer per minuut, ofwel
60
1
(≈ 0,000278) omwenteling per seconde.
3 600
1
b De kleine wijzer maakt één omwenteling in 12 uur, dat is (≈ 0,00138) omwenteling per minuut, ofwel
720
1
(≈ 0,0000231) omwenteling per seconde.
43 200
c De grote wijzer maakt 12 volledige rondjes tegen de kleine wijzer 1, dus de verhouding tussen de snelheden
van de grote en de kleine wijzer is 12 : 1.
BREUKEN EN VERHOUDINGEN ZIEN
2 3
a In de figuur zijn de volgende breuken te zien: omdat 2 van de 5 hokjes blauw zijn en omdat 3 van de 5
5 5
1 4 5
hokjes groen zijn. Als je niet specifiek op de kleur let, kun je eventueel ook nog de breuken , en ‘zien’.
5 5 5
b De breuken uit a zijn natuurlijk ook als verhouding zichtbaar, je zegt dan bijvoorbeeld 2 op 5 (een interne
verhouding). Maar je kunt ook de verhouding blauw op groen duiden als 2 op 3 (een externe verhouding).
1.1.2 ABSOLUUT EN RELATIEF
WEL OF GEEN VERHOUDINGEN?
Het deel van de figuur dat groen is, is, dus in een verhouding van 9 op 16. Verder zie ik:
1 op 4 is blauw, 1 op 16 is dubbelgekleurd, 1 op 4 is wit, 4 op 9 is blauw op groen of als je het overlappende
hokje niet meetelt 3 op 8. Het gaat er hier natuurlijk om dat je op heel veel manieren kunt kijken naar
verhoudingen (niet alleen deel-geheel).
3
Hoofdstuk 1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ............................................ 3
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen ............................................................................................................... 3
1.1.2 Absoluut en relatief .................................................................................................................................. 3
1.2.2 weetjes ..................................................................................................................................................... 4
Hoofdstuk 2 Verhoudingen .............................................................................................................................. 8
2.1 Verhoudingen zijn overal ............................................................................................................................. 8
2.1.2 Niet-evenredige verbanden.................................................................................................................... 10
2.1.3 Bijzondere verhoudingen ....................................................................................................................... 12
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen ...................................................................................................... 18
2.2.2 Modellen bij verhoudingen .................................................................................................................... 19
2.2.3 Redeneren en rekenen met verhoudingen ............................................................................................ 21
2.2.4 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 24
Hoofdstuk 3 Procenten .................................................................................................................................. 29
3.1.2 Een gestandaardiseerde verhouding ...................................................................................................... 29
3.1.3 Wiskundetaal bij procenten ................................................................................................................... 30
3.2.2 Introductie van procenten...................................................................................................................... 31
3.2.3 Modellen bij procenten .......................................................................................................................... 32
3.2.4 Rekenen en redeneren met procenten .................................................................................................. 33
3.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 39
Hoofdstuk 4 Breuken ..................................................................................................................................... 40
4.1.1 Verschijningsvormen .............................................................................................................................. 40
4.1.2 Wiskundetaal bij breuken....................................................................................................................... 41
4.2.2 Introductie van breuken ......................................................................................................................... 41
4.2.3 Modellen bij breuken ............................................................................................................................. 46
4.2.4 Rekenen en redeneren met breuken ..................................................................................................... 48
4.2.5 Samenhang met andere domeinen ........................................................................................................ 55
Hoofdstuk 5 Kommagetallen .......................................................................................................................... 55
5.1.2 Wiskundetaal bij kommagetallen ........................................................................................................... 55
5.2.3 Modellen en schema’s bij kommagetallen ............................................................................................. 59
5.2.4 Rekenen en redeneren met kommagetallen .......................................................................................... 60
1
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
Hoofdstuk 6 LEren en onderwijzen van reken-wiskunde ................................................................................ 67
Driehoekopgave .............................................................................................................................................. 67
2
, VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN KOMMAGETALLEN
HOOFDSTUK 1 SAMENHANG VERHOUDINGEN, PROCENTEN, BREUKEN EN
KOMMAGETALLEN
1.1.1 OVEREENKOMSTEN EN VERSCHILLEN
MAXIMUMSNELHEID
Via een verhoudingstabel:
200 2
meters 80 km = 80 000 m 80 000 800 200 = 22
9 9
seconden 1 u = 3 600 s 3 600 36 9 1
2
Dus 80 km/u = 22 m/s.
9
Je kunt gebruik maken van de regel: van km/u naar m/s komt neer op delen door 3,6. De uitwerking wordt dan:
80 : 3,6 ≈ 22,2 ongeveer.
DE WIJZERS VAN DE KLOK
1
a De grote wijzer maak één omwenteling per uur, dat is (≈ 0,0167) omwenteling of toer per minuut, ofwel
60
1
(≈ 0,000278) omwenteling per seconde.
3 600
1
b De kleine wijzer maakt één omwenteling in 12 uur, dat is (≈ 0,00138) omwenteling per minuut, ofwel
720
1
(≈ 0,0000231) omwenteling per seconde.
43 200
c De grote wijzer maakt 12 volledige rondjes tegen de kleine wijzer 1, dus de verhouding tussen de snelheden
van de grote en de kleine wijzer is 12 : 1.
BREUKEN EN VERHOUDINGEN ZIEN
2 3
a In de figuur zijn de volgende breuken te zien: omdat 2 van de 5 hokjes blauw zijn en omdat 3 van de 5
5 5
1 4 5
hokjes groen zijn. Als je niet specifiek op de kleur let, kun je eventueel ook nog de breuken , en ‘zien’.
5 5 5
b De breuken uit a zijn natuurlijk ook als verhouding zichtbaar, je zegt dan bijvoorbeeld 2 op 5 (een interne
verhouding). Maar je kunt ook de verhouding blauw op groen duiden als 2 op 3 (een externe verhouding).
1.1.2 ABSOLUUT EN RELATIEF
WEL OF GEEN VERHOUDINGEN?
Het deel van de figuur dat groen is, is, dus in een verhouding van 9 op 16. Verder zie ik:
1 op 4 is blauw, 1 op 16 is dubbelgekleurd, 1 op 4 is wit, 4 op 9 is blauw op groen of als je het overlappende
hokje niet meetelt 3 op 8. Het gaat er hier natuurlijk om dat je op heel veel manieren kunt kijken naar
verhoudingen (niet alleen deel-geheel).
3
