Hoorcolleges Toetsende statistiek
Hoorcollege 1 Herhalingsstof (toetsen, power en effectgrootte)
Toetsende statistiek wordt gebruikt om een uitspraak te doen over de populatie op basis van
beschrijvende statistieken in de steekproef.
Met behulp van toetsende statistiek kan er antwoord gegeven worden op vragen als:
- Zijn vrouwen slimmer dan mannen?
- Zijn kinderen met broertjes en/of zusjes socialer dan kinderen zonder?
- Verhoogt wiskunde training de studieprestatie?
- Zijn ouderen in de stad gelukkiger dan ouderen op het platteland?
Twee soorten toetsende statistieken
1. Schatten van populatieparameters op basis van gevonden gegevens in de steekproef
o Puntschattingen en betrouwbaarheidsintervallen
2. Toetsen van hypothesen over populatieparameters op basis van de gevonden gegevens in
de steekproef
o Toetsingsgegevens en -resultaten
Voorbeeld: (Betrouwbaarheidsinterval) In de hoorcollegezaal zitten 120 studenten, waarvan 80
vrouwen. De proportie vrouwen is dus 80/120 = 0.67. Kunnen we met deze gegevens een uitspraak
doen over de proportie in de populatie vrouwelijke bachelor studenten POW?
Wat zegt dus de gevonden proportie vrouwen in de steekproef (p̂ =0.67) over de proportie vrouwen
(p) in de populatie bachelor studenten POW?
- Meer steekproeven nodig. Gemiddeld over alle steekproeven zal de gemiddelde steekproef
waarde gelijk zijn aan de werkelijke waarde in de populatie.
Een betrouwbaarheidsinterval berekenen:
Bij herhaalde steekproeftrekking ligt in 100(1-a)% van de gevallen de populatieparameter binnen de
grenzen van het interval.
Een betrouwbaarheidsinterval geeft plausibele waarden voor de populatieparameter op basis van:
- De puntschatting (gevonden proportie/gemiddelde/verschil etc.)
- Kritieke grenzen behorend bij de toetsingsgrootheid
- Standaardfout van de puntschatting
- Houdbaarheid van de aannamen die je doet (bijvoorbeeld normaliteit)
Het laat in 95% van de gevallen zien dat uitkomsten uit een steekproef ook gelden voor de
populatieparameter en dat je het goed hebt, en in 5% van de gevallen is het fout.
Betrouwbaarheidsinterval voor proporties:
,Eerst de standaardfout berekenen van in dit geval de proportie vrouwelijke studenten (0.67). Daarna
zoek je de Z op in de tabel in het formuleboekje.
Je z-waarde bij een 95% betrouwbaarheidsinterval van een proportie is 1.96.
Nulhypothese toets
Stappen:
1. Assumpties
2. Hypothese
3. Toetsingsgrootheid (t)
4. P-waarde (overschrijdingskans)
5. Conclusie
Je gebruikt de z-toets voor een proportie en je gebruikt een t-toets voor een gemiddelde.
Nulhypothesetoets voor een proportie
Voorbeeld: In de hoorcollegezaal zitten 120 studenten, waarvan 80 vrouwen. Kan ik aannemen dat in
de populatie de helft van de bachelor studenten POW een vrouw is?
1. Assumpties (bij proporties)
- Steekproef willekeurig getrokken
- Categorische variabele
- Steekproef is groot genoeg: np groter dan of gelijk aan 15 en n(1-p) groter dan of gelijk aan 15
(n = steekproefgrootte, p = ware proportie)
Werkelijke proportie is bijvoorbeeld .60.
De waargenomen proportie (p̂ ) is 80/120 = .67
Np = 120*.60= 72; n(p-1) = 120*.40 = 48
2. Hypothese opstellen
- Nulhypothese (H0) → H0: p = p0 = 0.5
- Alternatieve hypothese (Ha) → p ≠ p0; p < p0; p > p0 → p ≠ 0.5
3. Toetsingsgrootheid
- In het algemene geval:
De waarde op de toetsingsgrootheid is ‘aantal standaardfouten dat de waarde van de
parameterschatting afligt van de waarde van de parameter onder de nulhypothese’.
,De gevonden steekproefwaarde ligt 3.66 se’s af van de populatiewaarde onder de aanname dat het
aantal mannelijke en vrouwelijke studenten gelijk is.
4. P-waarde
- Wat is de kans dat we de gevonden of nog extremere waarde zouden vinden als de
nulhypothese waar is?
- Overschrijdingskans van de gevonden toetsingsgrootheid in de tabel opzoeken, met behulp
van de kritieke waarde.
5. Conclusie
- Significant?
- Wat betekent dat?
Algemene geval:
- Is het niet significant, dan verwerp je de nulhypothese
- Is het wel significant, dan verwerp je de nulhypothese niet
, Betrouwbaarheidsinterval
Met het 95% betrouwbaarheidsinterval kan gezegd worden dat de proportie vrouwelijke bachelor
studenten POW groter is dan 50%: .67, CL95 = [.58, .72].
Herhaling hoorcolleges beschrijvende statistiek (Stof wordt als bekend vereist)
Hoorcollege 10 – 27 november (Week 5)
Een puntschatter is een getal dat aangeeft wat de beste schatting is voor de waarde van een
parameter.
Eigenschappen:
- Een goede schatter heeft een steekproevenverdeling die gecentreerd is rond de parameter (=
zuivere schatter)
➢ Het steekproef gemiddelde is een zuivere schatter van het gemiddelde in de populatie
➢ De steekproefproportie is een zuivere schatter van de proportie in de populatie
- Een goede schatter heeft een kleine standaarddeviatie in vergelijking met andere schatters
➢ De geschatte waarden vallen dichter in de buurt van de populatiewaarde dan die van andere
schatters
Een intervalschatting is een interval van getallen waarbinnen wordt aangenomen dat de waarde van
de parameter zich bevindt. De puntschatter bevindt zich hier altijd in het midden.
Eigenschappen:
- Een betrouwbaarheidsinterval is een interval dat de vermoedelijke waarden voor een
parameter bevat
➢ De kans dat deze methode een interval schat dat de waarde van de parameter bevat, wordt het
betrouwbaarheidsniveau genoemd
Een betrouwbaarheidsinterval voor een proportie in de populatie, is gebaseerd op de
steekproevenverdeling van een proportie
Hoorcollege 1 Herhalingsstof (toetsen, power en effectgrootte)
Toetsende statistiek wordt gebruikt om een uitspraak te doen over de populatie op basis van
beschrijvende statistieken in de steekproef.
Met behulp van toetsende statistiek kan er antwoord gegeven worden op vragen als:
- Zijn vrouwen slimmer dan mannen?
- Zijn kinderen met broertjes en/of zusjes socialer dan kinderen zonder?
- Verhoogt wiskunde training de studieprestatie?
- Zijn ouderen in de stad gelukkiger dan ouderen op het platteland?
Twee soorten toetsende statistieken
1. Schatten van populatieparameters op basis van gevonden gegevens in de steekproef
o Puntschattingen en betrouwbaarheidsintervallen
2. Toetsen van hypothesen over populatieparameters op basis van de gevonden gegevens in
de steekproef
o Toetsingsgegevens en -resultaten
Voorbeeld: (Betrouwbaarheidsinterval) In de hoorcollegezaal zitten 120 studenten, waarvan 80
vrouwen. De proportie vrouwen is dus 80/120 = 0.67. Kunnen we met deze gegevens een uitspraak
doen over de proportie in de populatie vrouwelijke bachelor studenten POW?
Wat zegt dus de gevonden proportie vrouwen in de steekproef (p̂ =0.67) over de proportie vrouwen
(p) in de populatie bachelor studenten POW?
- Meer steekproeven nodig. Gemiddeld over alle steekproeven zal de gemiddelde steekproef
waarde gelijk zijn aan de werkelijke waarde in de populatie.
Een betrouwbaarheidsinterval berekenen:
Bij herhaalde steekproeftrekking ligt in 100(1-a)% van de gevallen de populatieparameter binnen de
grenzen van het interval.
Een betrouwbaarheidsinterval geeft plausibele waarden voor de populatieparameter op basis van:
- De puntschatting (gevonden proportie/gemiddelde/verschil etc.)
- Kritieke grenzen behorend bij de toetsingsgrootheid
- Standaardfout van de puntschatting
- Houdbaarheid van de aannamen die je doet (bijvoorbeeld normaliteit)
Het laat in 95% van de gevallen zien dat uitkomsten uit een steekproef ook gelden voor de
populatieparameter en dat je het goed hebt, en in 5% van de gevallen is het fout.
Betrouwbaarheidsinterval voor proporties:
,Eerst de standaardfout berekenen van in dit geval de proportie vrouwelijke studenten (0.67). Daarna
zoek je de Z op in de tabel in het formuleboekje.
Je z-waarde bij een 95% betrouwbaarheidsinterval van een proportie is 1.96.
Nulhypothese toets
Stappen:
1. Assumpties
2. Hypothese
3. Toetsingsgrootheid (t)
4. P-waarde (overschrijdingskans)
5. Conclusie
Je gebruikt de z-toets voor een proportie en je gebruikt een t-toets voor een gemiddelde.
Nulhypothesetoets voor een proportie
Voorbeeld: In de hoorcollegezaal zitten 120 studenten, waarvan 80 vrouwen. Kan ik aannemen dat in
de populatie de helft van de bachelor studenten POW een vrouw is?
1. Assumpties (bij proporties)
- Steekproef willekeurig getrokken
- Categorische variabele
- Steekproef is groot genoeg: np groter dan of gelijk aan 15 en n(1-p) groter dan of gelijk aan 15
(n = steekproefgrootte, p = ware proportie)
Werkelijke proportie is bijvoorbeeld .60.
De waargenomen proportie (p̂ ) is 80/120 = .67
Np = 120*.60= 72; n(p-1) = 120*.40 = 48
2. Hypothese opstellen
- Nulhypothese (H0) → H0: p = p0 = 0.5
- Alternatieve hypothese (Ha) → p ≠ p0; p < p0; p > p0 → p ≠ 0.5
3. Toetsingsgrootheid
- In het algemene geval:
De waarde op de toetsingsgrootheid is ‘aantal standaardfouten dat de waarde van de
parameterschatting afligt van de waarde van de parameter onder de nulhypothese’.
,De gevonden steekproefwaarde ligt 3.66 se’s af van de populatiewaarde onder de aanname dat het
aantal mannelijke en vrouwelijke studenten gelijk is.
4. P-waarde
- Wat is de kans dat we de gevonden of nog extremere waarde zouden vinden als de
nulhypothese waar is?
- Overschrijdingskans van de gevonden toetsingsgrootheid in de tabel opzoeken, met behulp
van de kritieke waarde.
5. Conclusie
- Significant?
- Wat betekent dat?
Algemene geval:
- Is het niet significant, dan verwerp je de nulhypothese
- Is het wel significant, dan verwerp je de nulhypothese niet
, Betrouwbaarheidsinterval
Met het 95% betrouwbaarheidsinterval kan gezegd worden dat de proportie vrouwelijke bachelor
studenten POW groter is dan 50%: .67, CL95 = [.58, .72].
Herhaling hoorcolleges beschrijvende statistiek (Stof wordt als bekend vereist)
Hoorcollege 10 – 27 november (Week 5)
Een puntschatter is een getal dat aangeeft wat de beste schatting is voor de waarde van een
parameter.
Eigenschappen:
- Een goede schatter heeft een steekproevenverdeling die gecentreerd is rond de parameter (=
zuivere schatter)
➢ Het steekproef gemiddelde is een zuivere schatter van het gemiddelde in de populatie
➢ De steekproefproportie is een zuivere schatter van de proportie in de populatie
- Een goede schatter heeft een kleine standaarddeviatie in vergelijking met andere schatters
➢ De geschatte waarden vallen dichter in de buurt van de populatiewaarde dan die van andere
schatters
Een intervalschatting is een interval van getallen waarbinnen wordt aangenomen dat de waarde van
de parameter zich bevindt. De puntschatter bevindt zich hier altijd in het midden.
Eigenschappen:
- Een betrouwbaarheidsinterval is een interval dat de vermoedelijke waarden voor een
parameter bevat
➢ De kans dat deze methode een interval schat dat de waarde van de parameter bevat, wordt het
betrouwbaarheidsniveau genoemd
Een betrouwbaarheidsinterval voor een proportie in de populatie, is gebaseerd op de
steekproevenverdeling van een proportie
