SV Lelia de Vries – Reken-
wiskundedidactiek – Hele
getallen
Hoofdstuk 1: Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen komen in
het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.
De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal.
Telgetal/ordinaal getal -> de rangorde aan in de telrij = bijv. 1, 2, 3 of de eerste, de tweede, enz.
Hoeveelheidsgetal/kardinaal getal -> geeft bepaalde hoeveelheid aan
Naamgetal -> heeft het getal vooral een naam = bijv. buslijn 4
Meetgetal -> geeft een maat aan = bijv. Luuk is 4 jaar, van de voordeur tot het tuinhek is 4 m, enz.
Formeel getal -> kaal rekengetal
Met de getallen waarmee we tellen (in de wiskunde worden dat de natuurlijk getallen genoemd) kun
je ook rekenen - +. Uitkomst is ook een natuurlijk getal tenzij 15-47 = negatief getal.
1.2 Ons getalsysteem
Getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijv. Arabische of Romeinse
cijfers. Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven, heet talstelsel, getallenstelsel of
getalsysteem. Ons getalsysteem is omstreeks 1202 door Leonardo van Pisa in West-EU
geïntroduceerd.
Het Arabische getalsysteem kent een decimale(= tientallig) structuur. Een getal bestaat uit 1 of meer
cijfersymbolen. De plaats of positie van een cijfer in dit rijtje bepaald de waarde van het cijfer =
plaatswaarde of positiewaarde. Deze manier van hoeveelheden noteren (positionele notatie) is
kenmerkend voor een positioneel getalsysteem.
Het Egyptische en Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een additief
systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door Romeins cijfer Waarde
het totaal van de symbolen. In het nieuw-Romeinse getalsysteem (in gebruik I 1
sinds de middeleeuwen, maar niet echt ingeburgerd geraakt) werd ook V 5
gebruikgemaakt van substractief principe: een symbool met een kleinere X 10
waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, zoals IX, wordt de L 50
waarde van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede C 100
D 500
symbool. 14 = XIV
M 1000
,Naast ons decimale talstelsel komen in ons dagelijks leven ook andere getalsystemen of talstelsels
voor.
Computerwereld -> binaire (tweetallig) en hexadecimale (zestientallig) talstelsel
Tijd- en hoekmeting -> sexagesimale (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem
Al deze talsystemen onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een andere basis
hebben. Zo kent het binaire talstelsel een tweetallige bundeling: alle getallen worden geschreven
met slechts 2 cijfers: 0 en 1. In het hexadecimale gaat het om basis 16, in het octale stelsel om basis 8
en in het sexagesimale talstelsel om basis 60.
Tijdens de Franse Revolutie (eind 18e eeuw) werd het metriek stelsel ingevoerd. Kenmerkend: elke
eenheid in stappen van 10 groter of kleiner wordt.
1.3 Eigenschappen van getallen
Een getal is deelbaar door een ander getal als de rest bij de deling gelijk is aan 0.
Bij 2 – 5 – 10 zie je aan het laatste getal of je het kan delen.
Bij 3: tel je de losse cijfers op en deel je door 3. Vb: 15 = 1+5 = 6 -> kan je delen door 3.
Bij 4: deel getal door 2 en kijk of de rest even is.
Bij 6: Tel de losse cijfers op net zoals bij 3, en kijk of het getal even is.
Bij 8: Deel 2 keer door 2 en kijk of de rest even is.
Bij 9: tel de losse cijfers op en deel door 9.
Priemgetallen: Kan door zichzelf delen en door 1
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19
ja = door zichzelf en 1
nee = kan delen door meerdere
GGD = grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van 2 of meer hele
getallen. Bij het zoeken naar de grootste gemene deler kun je gebruikmaken van de ontbinding in
priemfactoren.
Priemfactoren ontbinden -> Delen door eerste priemgetal wat kan.
Voorbeeld:
10:2 =5
5:5 = 1
10 = 2 x 5
KGV = kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat de veelvoud is van twee of meer
getallen.
Een volmaakt getal is een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf. Bijv.
6: Als je alle delers optelt (1 – 2 – 3), kom je op het getal 6 uit. Enige volmaakte getallen onder de 100
zijn 6 en 28. Het volgende volmaakte getal is 496.
Figurale getallen zijn getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen, zoals een driehoek, vierkant,
piramide of kubus. Zo heb je driehoeksgetallen, rechthoeksgetallen (de hoeveelheid kan in een
rechthoekig patroon worden uiteengelegd) en vierkantsgetallen (ook wel kwadraten genoemd: de
stippen vormen een vierkant). Een vierkantsgetal is een bijzonder rechthoeksgetal: namelijk als beide
zijden van de rechthoek gelijk zijn. Ook kun je aan een driedimensionaal bouwsel denken, zoals een
kubus (kubusgetallen) of een piramide (piramidegetallen).
, 1.4 Basisbewerkingen
Basisbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
Optellen = samen nemen, aanvullen of toevoegen
Aftrekken = eraf halen, weghalen of wegnemen, verminderen, wegdenken en verschil bepalen tussen
2 getallen.
Vermenigvuldigen = herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken en
op schaal vergroten
Delen = herhaald aftrekken, opdelen en verdelen.
Bij optellen en vermenigvuldigen kan je gebruikmaken van de commutatieve of wisseleigenschap,
waarbij je de termen of factoren mag verwisselen.
Wisseleigenschap = 8 + 5 = 5 + 8 8x2=2x8
Ook kun je bij optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van de associatieve eigenschap
(schakeleigenschap): 16 + (4+5) = (16+4) + 5
Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve of
verdeeleigenschap: 3 x 14 = 3 (10+4) = 3 x 10 + 3 x 4 = 30 + 12 = 42
Tot slot kun je de inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen en vermenigvuldigen en
delen benutten:
56 : 8 = 7 7 x 8 = 56
17 – 9 = 8 8 + 9 = 17
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen
Getal in cijfersymbolen Wetenschappelijke notatie Uitspraak
1 000 000 1 x 106 Miljoen
1 000 000 000 1 x 109 Miljard
1 000 000 000 000 1 x 1012 Biljoen
1 000 000 000 000 000 1 x 1015 Biljard
1 000 000 000 000 000 000 1 x 1018 Triljoen
1 000 000 000 000 000 000 000 1 x 1021 Triljard
1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 x 1024 Quadriljoen
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 x 1027 Quadriljard
Een bewerking bestaat uit verschillende termen en functies. De termen zijn vaak getallen, maar
kunnen ook letters zijn (x en y) en de functies geven aan wat er meet die termen gebeurt -> + en -.
Som = + 8+4 8 en 4 heten termen
Verschil= - 8–4 8 en 4 heten termen, 8 is het aftrektal, 4 is de aftrekker
Product= x 8x4 8 en 4 heten factoren, 8 is de vermenigvuldiger, 4 is het vermenigvuldigtal
Quotiënt = : 8:4 8 en 4 heten factoren, 8 is het deeltal, 4 is de deler
De operator bewerkt de operand. 6 x 3 het getal 6 de operator en het getal 3 de operand. Als een
getal herhaaldelijk met zichzelf vermendigvuldigt, kun je dit schrijven als een macht. 2 3 = 2x2x2.
≈ ongeveer
< kleiner dan
wiskundedidactiek – Hele
getallen
Hoofdstuk 1: Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen komen in
het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.
De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of functie van het getal.
Telgetal/ordinaal getal -> de rangorde aan in de telrij = bijv. 1, 2, 3 of de eerste, de tweede, enz.
Hoeveelheidsgetal/kardinaal getal -> geeft bepaalde hoeveelheid aan
Naamgetal -> heeft het getal vooral een naam = bijv. buslijn 4
Meetgetal -> geeft een maat aan = bijv. Luuk is 4 jaar, van de voordeur tot het tuinhek is 4 m, enz.
Formeel getal -> kaal rekengetal
Met de getallen waarmee we tellen (in de wiskunde worden dat de natuurlijk getallen genoemd) kun
je ook rekenen - +. Uitkomst is ook een natuurlijk getal tenzij 15-47 = negatief getal.
1.2 Ons getalsysteem
Getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijv. Arabische of Romeinse
cijfers. Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven, heet talstelsel, getallenstelsel of
getalsysteem. Ons getalsysteem is omstreeks 1202 door Leonardo van Pisa in West-EU
geïntroduceerd.
Het Arabische getalsysteem kent een decimale(= tientallig) structuur. Een getal bestaat uit 1 of meer
cijfersymbolen. De plaats of positie van een cijfer in dit rijtje bepaald de waarde van het cijfer =
plaatswaarde of positiewaarde. Deze manier van hoeveelheden noteren (positionele notatie) is
kenmerkend voor een positioneel getalsysteem.
Het Egyptische en Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van een additief
systeem waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door Romeins cijfer Waarde
het totaal van de symbolen. In het nieuw-Romeinse getalsysteem (in gebruik I 1
sinds de middeleeuwen, maar niet echt ingeburgerd geraakt) werd ook V 5
gebruikgemaakt van substractief principe: een symbool met een kleinere X 10
waarde voor een symbool met een hogere waarde staat, zoals IX, wordt de L 50
waarde van het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede C 100
D 500
symbool. 14 = XIV
M 1000
,Naast ons decimale talstelsel komen in ons dagelijks leven ook andere getalsystemen of talstelsels
voor.
Computerwereld -> binaire (tweetallig) en hexadecimale (zestientallig) talstelsel
Tijd- en hoekmeting -> sexagesimale (zestigtallig) of Babylonische getalsysteem
Al deze talsystemen onderscheiden zich van het decimale talstelsel doordat ze een andere basis
hebben. Zo kent het binaire talstelsel een tweetallige bundeling: alle getallen worden geschreven
met slechts 2 cijfers: 0 en 1. In het hexadecimale gaat het om basis 16, in het octale stelsel om basis 8
en in het sexagesimale talstelsel om basis 60.
Tijdens de Franse Revolutie (eind 18e eeuw) werd het metriek stelsel ingevoerd. Kenmerkend: elke
eenheid in stappen van 10 groter of kleiner wordt.
1.3 Eigenschappen van getallen
Een getal is deelbaar door een ander getal als de rest bij de deling gelijk is aan 0.
Bij 2 – 5 – 10 zie je aan het laatste getal of je het kan delen.
Bij 3: tel je de losse cijfers op en deel je door 3. Vb: 15 = 1+5 = 6 -> kan je delen door 3.
Bij 4: deel getal door 2 en kijk of de rest even is.
Bij 6: Tel de losse cijfers op net zoals bij 3, en kijk of het getal even is.
Bij 8: Deel 2 keer door 2 en kijk of de rest even is.
Bij 9: tel de losse cijfers op en deel door 9.
Priemgetallen: Kan door zichzelf delen en door 1
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19
ja = door zichzelf en 1
nee = kan delen door meerdere
GGD = grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van 2 of meer hele
getallen. Bij het zoeken naar de grootste gemene deler kun je gebruikmaken van de ontbinding in
priemfactoren.
Priemfactoren ontbinden -> Delen door eerste priemgetal wat kan.
Voorbeeld:
10:2 =5
5:5 = 1
10 = 2 x 5
KGV = kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat de veelvoud is van twee of meer
getallen.
Een volmaakt getal is een positief getal dat gelijk is aan de som van zijn delers, behalve zichzelf. Bijv.
6: Als je alle delers optelt (1 – 2 – 3), kom je op het getal 6 uit. Enige volmaakte getallen onder de 100
zijn 6 en 28. Het volgende volmaakte getal is 496.
Figurale getallen zijn getallen die je in een stippenpatroon kunt leggen, zoals een driehoek, vierkant,
piramide of kubus. Zo heb je driehoeksgetallen, rechthoeksgetallen (de hoeveelheid kan in een
rechthoekig patroon worden uiteengelegd) en vierkantsgetallen (ook wel kwadraten genoemd: de
stippen vormen een vierkant). Een vierkantsgetal is een bijzonder rechthoeksgetal: namelijk als beide
zijden van de rechthoek gelijk zijn. Ook kun je aan een driedimensionaal bouwsel denken, zoals een
kubus (kubusgetallen) of een piramide (piramidegetallen).
, 1.4 Basisbewerkingen
Basisbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
Optellen = samen nemen, aanvullen of toevoegen
Aftrekken = eraf halen, weghalen of wegnemen, verminderen, wegdenken en verschil bepalen tussen
2 getallen.
Vermenigvuldigen = herhaald optellen, oppervlakte bepalen, combineren, gelijke sprongen maken en
op schaal vergroten
Delen = herhaald aftrekken, opdelen en verdelen.
Bij optellen en vermenigvuldigen kan je gebruikmaken van de commutatieve of wisseleigenschap,
waarbij je de termen of factoren mag verwisselen.
Wisseleigenschap = 8 + 5 = 5 + 8 8x2=2x8
Ook kun je bij optellen en vermenigvuldigen gebruikmaken van de associatieve eigenschap
(schakeleigenschap): 16 + (4+5) = (16+4) + 5
Bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen kun je ook gebruikmaken van de distributieve of
verdeeleigenschap: 3 x 14 = 3 (10+4) = 3 x 10 + 3 x 4 = 30 + 12 = 42
Tot slot kun je de inverse relatie tussen optellen en aftrekken en tussen en vermenigvuldigen en
delen benutten:
56 : 8 = 7 7 x 8 = 56
17 – 9 = 8 8 + 9 = 17
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen
Getal in cijfersymbolen Wetenschappelijke notatie Uitspraak
1 000 000 1 x 106 Miljoen
1 000 000 000 1 x 109 Miljard
1 000 000 000 000 1 x 1012 Biljoen
1 000 000 000 000 000 1 x 1015 Biljard
1 000 000 000 000 000 000 1 x 1018 Triljoen
1 000 000 000 000 000 000 000 1 x 1021 Triljard
1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 x 1024 Quadriljoen
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 x 1027 Quadriljard
Een bewerking bestaat uit verschillende termen en functies. De termen zijn vaak getallen, maar
kunnen ook letters zijn (x en y) en de functies geven aan wat er meet die termen gebeurt -> + en -.
Som = + 8+4 8 en 4 heten termen
Verschil= - 8–4 8 en 4 heten termen, 8 is het aftrektal, 4 is de aftrekker
Product= x 8x4 8 en 4 heten factoren, 8 is de vermenigvuldiger, 4 is het vermenigvuldigtal
Quotiënt = : 8:4 8 en 4 heten factoren, 8 is het deeltal, 4 is de deler
De operator bewerkt de operand. 6 x 3 het getal 6 de operator en het getal 3 de operand. Als een
getal herhaaldelijk met zichzelf vermendigvuldigt, kun je dit schrijven als een macht. 2 3 = 2x2x2.
≈ ongeveer
< kleiner dan
