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C HAPITRE 4


É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES

LINÉAIRES




Sommaire
4.1 Équation différentielle linéaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1 Équations homogènes (sans second membre) . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.2 Équations avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.3 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Équation différentielle linéaire d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.1 Équation homogène (sans second membre) . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2 Équations avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.3 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle non vide de R et K = R ou C. y étant une
fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur I, y 0 sa dérivée première et
y 00 sa dérivée seconde.


4.1 ) Équation différentielle linéaire d’ordre 1

4.1.1 ) Équations homogènes (sans second membre)
Définition 4.1.1. Soit a : I → R une fonction continue. Une équation de la forme :

y 0 + a(x)y = 0

s’appelle équation différentielle linéaire d’ordre 1 sans second membre (où Équation homogène).

Théorème 4.1.1. Soit a une fonction continue sur I, on a :
R
y 0 + ay = 0 sur I ⇐⇒ Il existe α ∈ R, tel que y = αe− a(t)dt
sur I.

Si de plus une condition initiale y(x0 ) = y0 est imposée, avec x0 ∈ I et y0 ∈ R, alors la valeur
de la constante α est fixée, l’équation avec condition initiale possède une unique solution.

113

, CHAPITRE 4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
SECTION 4.1. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE D’ORDRE 1


Démonstration.
y0 y 0 (x)
Z Z
0
y + ay = 0 ⇐⇒ = −a ⇐⇒ dx = −a(x)dx + c
y y(x)
Z
⇐⇒ ln |y(x)| = − a(x)dx + c
R R
⇐⇒ y(x) = ±ec e− a(x)dx
= αe− a(x)dx




Exemple. Résoudre les équations différentielles suivantes :

(E1 ) : y 0 + 2y = 0 et (E2 ) : 3y 0 + x2 y = 0.
R
• On a y 0 + 2y = 0 ⇔ y(x) = ke− 2dx
= k e−2x , k ∈ R.
x2
• Mettons l’équation sous forme normale : E2 : y 0 + 3
y = 0.
x2 3
− x9
R
− dx
Donc y = αe 3 = αe , α ∈ R.


4.1.2 ) Équations avec second membre
Définition 4.1.2. Soient a, b : I → R deux fonctions continues. Une équation de la forme :

y 0 + a(x)y = b(x)

s’appelle équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre.

Théorème 4.1.2. (solutions générale et particulière)
Soient a, b : I → R deux fonctions continues, yp une solution particulière de l’équation y 0 +
a(x)y = b(x) sur I. Alors :
R
y 0 + a(x)y = b(x) sur I ⇐⇒ Il existe α ∈ K tel que on ait y = yp + αe− a(x)dx
.

Remarque 4.1.1. Si on connaît une solution particulière de l’équation y 0 + a(x)y = b(x),
alors on en connaît toutes les solutions.

Exemple. Résoudre l’équation y 0 + 2y = 3.
On commence par résoudre l’équation différentielle homogène : yh0 + 2yh = 0.
3
Donc yh (x) = ke−2x où k ∈ R. Il est clair que yp = est une solution particulière de l’équation
2
générale. Donc, la solution générale de l’équation est :
3
y = yh + yp = ke−2x + , k ∈ R.
2
Théorème 4.1.3. (Principe de superposition).
Soient a, b1 , b2 : I → R des fonctions continues.
Si yp1 est une solution particulière sur I de l’équation (E1 ) : y 0 + a(x)y = b1 et
si yp2 est une solution particulière sur I de l’équation (E2 ) : y 0 + a(x)y = b2 ,
alors yp1 +yp2 est une solution particulière sur I de l’équation (E) : y 0 +a(x)y = b1 (x)+b2 (x).

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