Hoofdstuk 8 – toetsingsprocedure 7: variantieanalyse (ANOVA)
Met de variantieanalyse (ANOVA, Analysis of Variance) wordt getoetst of de populatiegemiddelden
van alle (k) groepen aan elkaar gelijk zijn.
- nulhypothese is H0: μ1 = μ2 = μ3 =…….= μk
Als de nulhypothese wordt verworpen, is er ten minste één groep met een gemiddelde dat significant
verschilt van de overige groepen.
Voorbeelden:
• Verschil in gemiddeld eindcijfer tussen 4 profielen (CM, EM, NG, NT)
• Verschil in reistijden tussen forensen die met de fiets, auto of ov gaan
• Verschil in vraagprijzen van woningen in de 4 grote steden
Variantieanalyse: principe
Bij variantieanalyse wordt getoetst of de gemiddelden van verschillenden groepen aan elkaar gelijk
zijn. We onderscheiden de steekproefgemiddelden: x̅1 , x̅2 , x̅3 ,……, x̅k en de Grand Mean = totale
gemiddelde van alle waarnemingen, ongeacht welke groep. Grand Mean → x̅T
Als de groepen verschillen, zullen de steekproefgemiddelden ook verschillen en liggen ze relatief ver
van de Grand Mean, nulhypothese wordt dan verworpen.
De totale steekproef bestaat uit k groepen. Voor de waarnemingen xi van elke groep j wordt het
groepsgemiddelde x̅j en de standaarddeviatie sj berekend. De groepsomvang wordt aangeduid met nj
Naast de groepsgemiddelden wordt ook het totale gemiddelde over alle waarnemingen (grand
mean) x̅T en de totale standaarddeviatie sT berekend.
Kwadraatsommen
De berekening van de variantieanalyse is gebaseerd op de variantie van waarnemingen. We maken
daarbij gebruik van kwadraatsommen of sums of squares. De kwadraatsom is de som van de
gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingen ten opzichte van het gemiddelde.
De totale kwadraatsom (sum of squares total) is de variantie van alle waarnemingen in de
steekproef. We kunnen deze uitsplitsen in twee componenten:
• Tussenkwadraatsom (sum of squares between)
• Binnenkwadraatsom (sum of squares within)
SStotal = SSbetween + SSwithin
Totale kwadraatsom (SST )
Som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingen xi ten opzichte van het totale
gemiddelde x̅T.
Tussenkwadraatsom (SSB)
Som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle groepsgemiddelden ten opzichte van het totale
gemiddelde, gewogen voor het aantal waarnemingen in elke groep. Geeft verschillen tussen groepen
aan.
• Sterk verschil in groepsgemiddelden → tussenkwadraatsom groot
• Groepsgemiddelden praktisch gelijk → tussenkwadraatsom gering
,Binnenkwadraatsom (SSW)
De spreiding van de waarnemingen binnen iedere groep. Dit is de ruis (error), ofwel de variatie die
niet veroorzaakt wordt door de verschillen tussen de groepen. De binnenvariatie wordt ook wel
onverklaarde variatie genoemd.
Som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingen ten opzichte van hun
groepsgemiddelde.
Totale tussen- en binnenvariantie
Door de kwadraatsommen (variatie) te delen door hun veiligheidsgraden krijgen we de variaNtie of
Mean Square (MS), df = n-1. De vrijheidsgraden tellen van de binnen- en tussenvariatie op tot het
totaal.
- tussenkwadraatsom → df = k-1
- binnenkwadraatsom → df = n-k
ANOVA-tabel berekening F-waarde
Toetsingsgrootheid F
Bij variantieanalyse wordt de nulhypothese getoetst met een F-toets. De toetsingsgrootheid F is de
verhouding van de tussen- en binnenkwadraatsom.
• F-waarde relatief groot → de variantie veroorzaakt door verschillen tussen groepen
MSB > MSW = nulhypothese wel verwerpen
• F-waarde relatief klein → variantie veroorzaakt door verschillen binnen de groepen =
nulhypothese niet verwerpen
Vooronderstellingen bij variantieanalyse
1. Aselecte en onafhankelijke steekproef
2. Groepen onderscheiden op basis van categorische variabelen, interval/ratio
3. Normaal verdeeld voor iedere groep
• Voldoende groot: ni ≥ 30
4. Gelijke varianties (homogeniteit)
• Grootste steekproefvariantie delen door kleine steekproefvariantie: Fmax < 4
• Levene’s test (Homogeneity of variance test)
Variantieanalyse is een robuuste techniek, als de groepen (ongeveer) even groot zijn, wordt voldaan
aan de voorwaarde.
Voorbeeld boek vanaf blz 116
, Effect size
Voor het bepalen van de sterke van het verband gebruiken we de maat Eta-squared (𝜂 2). Deze maat
geeft het aandeel van de variantie van de afhankelijke variabele dat statistisch wordt verklaard door
de verschillen tussen de groepen.
Variantieanalyse met SPSS
Variantieanalyse vind je in SPSS onder Compare Mean; One-way ANOVA
Beschrijvende statistiek
Voordat we een variantieanalyse gaan uitvoeren moeten we eerst een beeld hebben van de
kenmerken van de steekproeven. Hiervoor berekenen we de statistische maten. In de tabel
Descriptives wordt de groepsomvang, gemiddelde en standaarddeviatie van de drie groepen
weergegeven.
Controle op normaliteit
• Groepen even groot → normaal verdeeld
• Niet even groot, maar wel boven 30 → normaal verdeeld
• Steekproef kleiner dan 30, wanneer dan wel normaal verdeeld?
o Gemiddelde en mediaan zijn gelijk
o Skewness en kurtosis zijn 0
▪ Skewness/std.error < 1,96
▪ Kurtosis/std.error < 1,96
Controle op homogeniteit
• Bij gelijke groepsgrootte
• Controleren:
o Test of Homogeneity of Variances (Levene’s test)
o H0: σ12 =σ22 =σ32
Nulhypothese wordt niet verworpen, p = 0,190 (> 0,05). We kunnen er dus vanuit gaan dat aan de
voorwaarde van gelijke varianties is voldaan.
Met de variantieanalyse (ANOVA, Analysis of Variance) wordt getoetst of de populatiegemiddelden
van alle (k) groepen aan elkaar gelijk zijn.
- nulhypothese is H0: μ1 = μ2 = μ3 =…….= μk
Als de nulhypothese wordt verworpen, is er ten minste één groep met een gemiddelde dat significant
verschilt van de overige groepen.
Voorbeelden:
• Verschil in gemiddeld eindcijfer tussen 4 profielen (CM, EM, NG, NT)
• Verschil in reistijden tussen forensen die met de fiets, auto of ov gaan
• Verschil in vraagprijzen van woningen in de 4 grote steden
Variantieanalyse: principe
Bij variantieanalyse wordt getoetst of de gemiddelden van verschillenden groepen aan elkaar gelijk
zijn. We onderscheiden de steekproefgemiddelden: x̅1 , x̅2 , x̅3 ,……, x̅k en de Grand Mean = totale
gemiddelde van alle waarnemingen, ongeacht welke groep. Grand Mean → x̅T
Als de groepen verschillen, zullen de steekproefgemiddelden ook verschillen en liggen ze relatief ver
van de Grand Mean, nulhypothese wordt dan verworpen.
De totale steekproef bestaat uit k groepen. Voor de waarnemingen xi van elke groep j wordt het
groepsgemiddelde x̅j en de standaarddeviatie sj berekend. De groepsomvang wordt aangeduid met nj
Naast de groepsgemiddelden wordt ook het totale gemiddelde over alle waarnemingen (grand
mean) x̅T en de totale standaarddeviatie sT berekend.
Kwadraatsommen
De berekening van de variantieanalyse is gebaseerd op de variantie van waarnemingen. We maken
daarbij gebruik van kwadraatsommen of sums of squares. De kwadraatsom is de som van de
gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingen ten opzichte van het gemiddelde.
De totale kwadraatsom (sum of squares total) is de variantie van alle waarnemingen in de
steekproef. We kunnen deze uitsplitsen in twee componenten:
• Tussenkwadraatsom (sum of squares between)
• Binnenkwadraatsom (sum of squares within)
SStotal = SSbetween + SSwithin
Totale kwadraatsom (SST )
Som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingen xi ten opzichte van het totale
gemiddelde x̅T.
Tussenkwadraatsom (SSB)
Som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle groepsgemiddelden ten opzichte van het totale
gemiddelde, gewogen voor het aantal waarnemingen in elke groep. Geeft verschillen tussen groepen
aan.
• Sterk verschil in groepsgemiddelden → tussenkwadraatsom groot
• Groepsgemiddelden praktisch gelijk → tussenkwadraatsom gering
,Binnenkwadraatsom (SSW)
De spreiding van de waarnemingen binnen iedere groep. Dit is de ruis (error), ofwel de variatie die
niet veroorzaakt wordt door de verschillen tussen de groepen. De binnenvariatie wordt ook wel
onverklaarde variatie genoemd.
Som van de gekwadrateerde afwijkingen van alle waarnemingen ten opzichte van hun
groepsgemiddelde.
Totale tussen- en binnenvariantie
Door de kwadraatsommen (variatie) te delen door hun veiligheidsgraden krijgen we de variaNtie of
Mean Square (MS), df = n-1. De vrijheidsgraden tellen van de binnen- en tussenvariatie op tot het
totaal.
- tussenkwadraatsom → df = k-1
- binnenkwadraatsom → df = n-k
ANOVA-tabel berekening F-waarde
Toetsingsgrootheid F
Bij variantieanalyse wordt de nulhypothese getoetst met een F-toets. De toetsingsgrootheid F is de
verhouding van de tussen- en binnenkwadraatsom.
• F-waarde relatief groot → de variantie veroorzaakt door verschillen tussen groepen
MSB > MSW = nulhypothese wel verwerpen
• F-waarde relatief klein → variantie veroorzaakt door verschillen binnen de groepen =
nulhypothese niet verwerpen
Vooronderstellingen bij variantieanalyse
1. Aselecte en onafhankelijke steekproef
2. Groepen onderscheiden op basis van categorische variabelen, interval/ratio
3. Normaal verdeeld voor iedere groep
• Voldoende groot: ni ≥ 30
4. Gelijke varianties (homogeniteit)
• Grootste steekproefvariantie delen door kleine steekproefvariantie: Fmax < 4
• Levene’s test (Homogeneity of variance test)
Variantieanalyse is een robuuste techniek, als de groepen (ongeveer) even groot zijn, wordt voldaan
aan de voorwaarde.
Voorbeeld boek vanaf blz 116
, Effect size
Voor het bepalen van de sterke van het verband gebruiken we de maat Eta-squared (𝜂 2). Deze maat
geeft het aandeel van de variantie van de afhankelijke variabele dat statistisch wordt verklaard door
de verschillen tussen de groepen.
Variantieanalyse met SPSS
Variantieanalyse vind je in SPSS onder Compare Mean; One-way ANOVA
Beschrijvende statistiek
Voordat we een variantieanalyse gaan uitvoeren moeten we eerst een beeld hebben van de
kenmerken van de steekproeven. Hiervoor berekenen we de statistische maten. In de tabel
Descriptives wordt de groepsomvang, gemiddelde en standaarddeviatie van de drie groepen
weergegeven.
Controle op normaliteit
• Groepen even groot → normaal verdeeld
• Niet even groot, maar wel boven 30 → normaal verdeeld
• Steekproef kleiner dan 30, wanneer dan wel normaal verdeeld?
o Gemiddelde en mediaan zijn gelijk
o Skewness en kurtosis zijn 0
▪ Skewness/std.error < 1,96
▪ Kurtosis/std.error < 1,96
Controle op homogeniteit
• Bij gelijke groepsgrootte
• Controleren:
o Test of Homogeneity of Variances (Levene’s test)
o H0: σ12 =σ22 =σ32
Nulhypothese wordt niet verworpen, p = 0,190 (> 0,05). We kunnen er dus vanuit gaan dat aan de
voorwaarde van gelijke varianties is voldaan.
